Exercices Exercices Corrigés
CORRIGÉS
10.4 Recherche d’un circuit résonant
1. On aura un montage du type pont diviseur de tension avec deux impédances Z 1 et Z 2 .
Par conséquent, on a s =
Z 2
Z 1 + Z 2
e. On veut un gain de 1 à la résonance, ce qui offre deux
possibilités : Z 1 (ω 0 ) = 0 ou Z 2 (ω 0 ) infinie.
Pour le premier cas, on associe en série L et C soit Z 1 = j
Lω −
1
Cω
qui s’annule pour
ω 0 =
1
√
LC
soit C =
1
Lω 2
0
= 158 nF. Dans ce cas, on a Z 2 = R.
Pour le deuxième cas, Z 2 s’obtient par une association en parallèle de L et C soit Z 2 =
1
j
Cω −
1
Lω
qui tend vers l’infini pour ω = ω 0 . Dans ce cas, Z 1 = R.
2. Q =
1
2ξ
où ξ est le coefficient d’amortissement. On le calcule en écrivant la fonction de
transfert, en l’écrivant sous forme canonique, en trouvant ξ , puis Q.
Pour le premier cas, on trouve Q =
1
R
L
C
. Pour le second Q = R
C
L
.
La sélectivité est meilleure pour le second montage car on peut augmenter la valeur de R
tandis que diminuer sa valeur est difficile.
3. On a déjà déterminé la valeur C = 158 nF.
Pour le premier cas, on prend la valeur la plus faible pour R soit 1 kΩ pour ne pas être gêné
par les résistances internes des sources de tension. On en déduit Q = 0, 50.
Pour le second cas, on choisit la valeur la plus grande possible pour R soit 100 kΩ pour ne
pas être gêné par les impédances d’entrée des appareils de mesure. Dans ce cas, Q = 199.
4. Le montage le plus sélectif est celui qui présente le pic le plus haut et le plus étroit, c’est à
dire de coefficient d’amortissement ξ le plus faible, ou de facteur de qualité Q =
1
2ξ
le plus
fort. Le deuxième montage est donc meilleur d’après ce qui précède.
10.5 Étude de l’impédance d’un quartz piezoélectrique, d’après ENSTIM 2004
1.
a. On a donc une impédance (C p ) en parallèle sur deux impédances en série (L et C s ).
On calcule l’admittance de l’ensemble : Y = jC p ω +
1
jLω +
1
jC s ω
= jC p ω +
jC s ω
1 − LC s ω 2 . En
réduisant au même dénominateur puis en factorisant, on obtient : Y = j(C p +C s )ω
1−
LC p C s ω 2
C p + C s
1−LC s ω 2
.
En inversant, on peut écrire Z sous la forme de l’énoncé : Z AB =
1
Y
=
−
j
αω
1 −
ω 2
ω 2
r
1 −
ω 2
ω 2
a
, avec
α = C p + C s , ω r = 1/
√
LC s et ω a = 1/
√
LC e où l’on a posé C e = C p C s /(C p + C s ).
Comme C e < C s , alors ω a > ω r .
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CORRIGÉS
10.4 Recherche d’un circuit résonant
1. On aura un montage du type pont diviseur de tension avec deux impédances Z 1 et Z 2 .
Par conséquent, on a s =
Z 2
Z 1 + Z 2
e. On veut un gain de 1 à la résonance, ce qui offre deux
possibilités : Z 1 (ω 0 ) = 0 ou Z 2 (ω 0 ) infinie.
Pour le premier cas, on associe en série L et C soit Z 1 = j
Lω −
1
Cω
qui s’annule pour
ω 0 =
1
√
LC
soit C =
1
Lω 2
0
= 158 nF. Dans ce cas, on a Z 2 = R.
Pour le deuxième cas, Z 2 s’obtient par une association en parallèle de L et C soit Z 2 =
1
j
Cω −
1
Lω
qui tend vers l’infini pour ω = ω 0 . Dans ce cas, Z 1 = R.
2. Q =
1
2ξ
où ξ est le coefficient d’amortissement. On le calcule en écrivant la fonction de
transfert, en l’écrivant sous forme canonique, en trouvant ξ , puis Q.
Pour le premier cas, on trouve Q =
1
R
L
C
. Pour le second Q = R
C
L
.
La sélectivité est meilleure pour le second montage car on peut augmenter la valeur de R
tandis que diminuer sa valeur est difficile.
3. On a déjà déterminé la valeur C = 158 nF.
Pour le premier cas, on prend la valeur la plus faible pour R soit 1 kΩ pour ne pas être gêné
par les résistances internes des sources de tension. On en déduit Q = 0, 50.
Pour le second cas, on choisit la valeur la plus grande possible pour R soit 100 kΩ pour ne
pas être gêné par les impédances d’entrée des appareils de mesure. Dans ce cas, Q = 199.
4. Le montage le plus sélectif est celui qui présente le pic le plus haut et le plus étroit, c’est à
dire de coefficient d’amortissement ξ le plus faible, ou de facteur de qualité Q =
1
2ξ
le plus
fort. Le deuxième montage est donc meilleur d’après ce qui précède.
10.5 Étude de l’impédance d’un quartz piezoélectrique, d’après ENSTIM 2004
1.
a. On a donc une impédance (C p ) en parallèle sur deux impédances en série (L et C s ).
On calcule l’admittance de l’ensemble : Y = jC p ω +
1
jLω +
1
jC s ω
= jC p ω +
jC s ω
1 − LC s ω 2 . En
réduisant au même dénominateur puis en factorisant, on obtient : Y = j(C p +C s )ω
1−
LC p C s ω 2
C p + C s
1−LC s ω 2
.
En inversant, on peut écrire Z sous la forme de l’énoncé : Z AB =
1
Y
=
−
j
αω
1 −
ω 2
ω 2
r
1 −
ω 2
ω 2
a
, avec
α = C p + C s , ω r = 1/
√
LC s et ω a = 1/
√
LC e où l’on a posé C e = C p C s /(C p + C s ).
Comme C e < C s , alors ω a > ω r .
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