Exercices Exercices Corrigés
CHAPITRE 10 – RÉGIME SINUSOÏDAL
CORRIGÉS
10.1 Équivalence entre deux dipôles
1. En série, on a Z
= R
+ jL
ω et en parallèle, Z =
R jLω
R + jLω
=
RL 2 ω 2
R 2 + L 2 ω 2 + j
R 2 Lω
R 2 + L 2 ω 2 .
En identifiant les parties réelles et imaginaires, on a l’équivalence des deux dipôles pour :
R =
RL 2 ω 2
R 2 +L 2 ω 2 et L =
R 2 L
R 2 +L 2 ω 2 . On peut noter que l’équivalence n’est valable que pour une
fréquence précise. On verra dans le chapitre sur l’instrumentation électrique qu’il s’agit du
modèle bande étroite d’une bobine.
2. Le rapport
L
R vaut, d’après la question précédente :
L
R =
R 2 L
R 2 + L 2 ω 2
(R 2 + L 2 ω 2 ) RL 2 ω 2 =
R
Lω 2 . On
aura
L
R =
L
R
si
R
Lω 2 =
L
R
, soir pour ω =
R
L
.
10.2 Courant et tension en phase
On calcule l’impédance équivalente à l’ensemble L, R 2 et C soit Z =
1
jCω
(R 2 + jLω)
1
jCω
+ R 2 + jLω
=
R 2 + jLω
1 + jR 2 Cω − LCω 2 . On en déduit l’intensité I par une loi des mailles I =
E
R 1 + Z
. Intensité
et tension sont en phase si l’argument de Z est nul soit R 2
2 C = L
1 − LCω 2
.
10.3 Résonance d’un circuit R, L,C parallèle
1. L’association en parallèle de R, L et C admet pour impédance Z =
1
1
R
+
1
jLω
+ jCω
=
jRLω
R + jLω − RCLω 2 . On obtient alors l’expression de la tension s en utilisant la relation du
pont diviseur de tension soit s =
Z
Z + r
e =
jRLω
rR + jLω (r + R) − rRCLω 2 e.
2. On a résonance si l’amplitude passe par un maximum. Or l’amplitude s’obtient en déterminant le module soit |s| =
|e|
1 +
r
R
2 + r 2
Cω −
1
Lω
2
. Le dénominateur est toujours
plus grand que 1 +
r
R
et prend cette valeur pour ω 0 =
1
√
LC
. On a donc résonance pour ω 0 .
3. Pour ω = ω 0 , on a s =
Re
r + R
et il n’y a pas de déphasage.
4. On obtient la même pulsation de résonance que pour le circuit R, L,C série mais un facteur
de qualité variable en fonction de la valeur de r.
368
CHAPITRE 10 – RÉGIME SINUSOÏDAL
CORRIGÉS
10.1 Équivalence entre deux dipôles
1. En série, on a Z
= R
+ jL
ω et en parallèle, Z =
R jLω
R + jLω
=
RL 2 ω 2
R 2 + L 2 ω 2 + j
R 2 Lω
R 2 + L 2 ω 2 .
En identifiant les parties réelles et imaginaires, on a l’équivalence des deux dipôles pour :
R =
RL 2 ω 2
R 2 +L 2 ω 2 et L =
R 2 L
R 2 +L 2 ω 2 . On peut noter que l’équivalence n’est valable que pour une
fréquence précise. On verra dans le chapitre sur l’instrumentation électrique qu’il s’agit du
modèle bande étroite d’une bobine.
2. Le rapport
L
R vaut, d’après la question précédente :
L
R =
R 2 L
R 2 + L 2 ω 2
(R 2 + L 2 ω 2 ) RL 2 ω 2 =
R
Lω 2 . On
aura
L
R =
L
R
si
R
Lω 2 =
L
R
, soir pour ω =
R
L
.
10.2 Courant et tension en phase
On calcule l’impédance équivalente à l’ensemble L, R 2 et C soit Z =
1
jCω
(R 2 + jLω)
1
jCω
+ R 2 + jLω
=
R 2 + jLω
1 + jR 2 Cω − LCω 2 . On en déduit l’intensité I par une loi des mailles I =
E
R 1 + Z
. Intensité
et tension sont en phase si l’argument de Z est nul soit R 2
2 C = L
1 − LCω 2
.
10.3 Résonance d’un circuit R, L,C parallèle
1. L’association en parallèle de R, L et C admet pour impédance Z =
1
1
R
+
1
jLω
+ jCω
=
jRLω
R + jLω − RCLω 2 . On obtient alors l’expression de la tension s en utilisant la relation du
pont diviseur de tension soit s =
Z
Z + r
e =
jRLω
rR + jLω (r + R) − rRCLω 2 e.
2. On a résonance si l’amplitude passe par un maximum. Or l’amplitude s’obtient en déterminant le module soit |s| =
|e|
1 +
r
R
2 + r 2
Cω −
1
Lω
2
. Le dénominateur est toujours
plus grand que 1 +
r
R
et prend cette valeur pour ω 0 =
1
√
LC
. On a donc résonance pour ω 0 .
3. Pour ω = ω 0 , on a s =
Re
r + R
et il n’y a pas de déphasage.
4. On obtient la même pulsation de résonance que pour le circuit R, L,C série mais un facteur
de qualité variable en fonction de la valeur de r.
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