COMPLÉMENT : DÉPHASAGE ET RAPPORT DES AMPLITUDES DANS UN SYSTÈME DU DEUXIÈME ORDRE
soit :
U C0
E 0
=
1
(1 − LCω 2 )
2 + (RCω)
2
.
U C0
E 0
= 0, 87, ce que confirme les relevés expérimentaux.
7.3 Méthode complexe
Le signal complexe u C associé à u C (t) = U C0 cos (ωt + ϕ) est :
u C = U C0 exp ( jϕ) exp ( jωt) = U C0 exp( jωt) .
Le signal complexe associé à la dérivée seconde est alors ( jω)
2 u C :
d 2 u C
dt 2 =
d 2
dt 2 (U C0 exp( jωt)) = ( jω)
2 U C0 exp ( jωt) = ( jω)
2 u C .
Ainsi, l’équation différentielle LC
d 2 u C
dt 2 + RC
du C
dt
+ u C (t) = e (t) devient :
LC ( jω)
2 u C + RC ( jω) u C + u C = e,
soit :
u C =
e
1 − LCω 2 + jRCω
.
Cette dernière relation aurait pu être obtenue avec la formule du diviseur de tension. Elle
permet de calculer le déphasage et le rapport des amplitudes entre u C (t) et e (t). Encore une
fois, on choisit arbitrairement un déphasage nul pour e (t), possible en décalant l’origine des
temps. Les signaux complexes sont alors :
e (t) = E 0 cos (ωt)
donc e = E 0 exp ( jωt) ,
u C (t) = U C0 cos (ωt + ϕ) donc u C = U C0 exp ( j (ωt + ϕ)) .
On en déduit :
• le déphasage entre les tension e (t) et u C (t) via l’argument :
arg
u C
= arg (e) − arg
1 − LCω
2
+ jRCω
.
Ainsi :
ωt + ϕ = ωt − arctan
RCω
1 − LCω 2
,
et :
ϕ = − arctan
RCω
1 − LCω 2
.
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