CHAPITRE 10 – RÉGIME SINUSOÏDAL
7.2 Méthode des vecteurs de Fresnel (MPSI)
On cherche à prévoir a priori le déphasage entre les deux signaux e (t) et u C (t) ainsi que le
rapport de leurs amplitudes en régime permanent sinusoïdal. L’équation différentielle, liant
e (t) à u C (t), qui régit l’évolution du circuit est :
LC
d 2 u C
dt 2 + RC
du C
dt
+ u C (t) = e (t) ,
ou, sous forme canonique :
1
ω 2
0
d 2 u C
dt 2 +
2ξ
ω 0
du C
dt
+ u C (t) = e (t) .
On associe au signal u C (t) le vecteur de Fresnel
− →
U C , de norme U C0 , à sa dérivée
du C
dt
, le
vecteur
− − →
DU C de norme ωU C0 , tourné de
π
2
et à sa dérivée seconde
d 2 u C
dt 2 , le vecteur
− −− →
D 2 U C ,
de norme ω × ωU C0 , tourné de
π
2
par rapport à
− − →
DU C , c’est- à-dire de π par rapport à
− →
U C .
L’équation différentielle du système se résume alors à :
LC ×
− −− →
D 2 U C + RC ×
− − →
DU C +
− →
U C + =
− →
E .
U C0
RCωU C0
LCω 2 U C0
E 0
|ϕ|
Figure 10.26 – Vecteurs de Fresnel du circuit RLC.
Remarque : avec les valeurs numériques, LCω 2 = 0, 36 < 1, donc le vecteur de Fresnel
− −− →
D 2 U C ,
associé à
d
2 u C
dt 2 , est de norme inférieure à celle de
− →
U C , comme sur le schéma.
On en déduit, dans le triangle rectangle :
• la valeur absolue du déphasage entre les tensions e (t) et u C (t) :
tan |ϕ| =
RCωU C0
U C0 − LCω 2 U C0
=
RCω
1 − LCω 2 .
u C (t) est en retard sur e (t) de |ϕ| = 0, 985 rad = 56, 4 ◦ . L’écart de 0, 1 ◦ avec l’expérience
n’est pas significatif attendu la précision des mesures.
• le rapport des amplitudes avec le théorème de Pythagore :
E
2
0 =
U C0 − LCω
2
U C0
2 + (RCωU C0 )
2 ,
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