CHAPITRE 10 – RÉGIME SINUSOÏDAL
C
e
R 1
R 2
s
Figure 10.23 – Système du premier ordre étudié.
On se place formellement en régime permanent sinusoïdal pour établir la transmittance. La
formule du diviseur de tension mène à :
s
e
=
Z R2
Z R1 + Z C + Z R2
=
R 2
R 1 +
1
jCω
+ R 2
=
jR 2 Cω
jR 1 Cω + 1 + jR 2 Cω
=
jR 2 Cω
1 + j (R 1 + R 2 )Cω
.
Le résultat est presenté sous la forme d’un polynôme en jω au numérateur, sur un polynôme
en jω au dénominateur afin d’écrire simplement le lien entre e et s :
j (R 1 + R 2 )Cωs + s = jR 2 Cωe.
Puis on utilise la correspondance entre jω et la dérivée d’un signal en régime permanent
sinusoïdal :
jωs ←→
ds
dt
et
( jω)
2 s ←→
d 2 s
dt 2 .
Ainsi :
(R 1 + R 2 )C
ds
dt
+ s = R 2 C
de
dt
.
6.3 Lien avec la transmittance de Laplace
On définit dans le cours de SII une fonction de transfert, issu d’une transformation intégrale
nommée transformée de Laplace. Cette opération ne relève pas du présent cours, mais l’identité des résultats doit être soulignée. Sur l’exemple du paragraphe précédent :
Équation différentielle
(R 1 + R 2 )C
ds
dt
+ s = R 2 C
de
dt
ds
dt
↔ jωs
Fonction de transfert harmonique
s
e
=
jR 2 Cω
1 + j (R 1 + R 2 )Cω
ds
dt
↔ pS
Fonction de transfert de Laplace
S
E
=
R 2 Cp
1 + (R 1 + R 2 )Cp
p ↔ jω
Figure 10.24 – Liens entre équation différentielle, transmittance harmonique et
transmittance de Laplace.
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C
e
R 1
R 2
s
Figure 10.23 – Système du premier ordre étudié.
On se place formellement en régime permanent sinusoïdal pour établir la transmittance. La
formule du diviseur de tension mène à :
s
e
=
Z R2
Z R1 + Z C + Z R2
=
R 2
R 1 +
1
jCω
+ R 2
=
jR 2 Cω
jR 1 Cω + 1 + jR 2 Cω
=
jR 2 Cω
1 + j (R 1 + R 2 )Cω
.
Le résultat est presenté sous la forme d’un polynôme en jω au numérateur, sur un polynôme
en jω au dénominateur afin d’écrire simplement le lien entre e et s :
j (R 1 + R 2 )Cωs + s = jR 2 Cωe.
Puis on utilise la correspondance entre jω et la dérivée d’un signal en régime permanent
sinusoïdal :
jωs ←→
ds
dt
et
( jω)
2 s ←→
d 2 s
dt 2 .
Ainsi :
(R 1 + R 2 )C
ds
dt
+ s = R 2 C
de
dt
.
6.3 Lien avec la transmittance de Laplace
On définit dans le cours de SII une fonction de transfert, issu d’une transformation intégrale
nommée transformée de Laplace. Cette opération ne relève pas du présent cours, mais l’identité des résultats doit être soulignée. Sur l’exemple du paragraphe précédent :
Équation différentielle
(R 1 + R 2 )C
ds
dt
+ s = R 2 C
de
dt
ds
dt
↔ jωs
Fonction de transfert harmonique
s
e
=
jR 2 Cω
1 + j (R 1 + R 2 )Cω
ds
dt
↔ pS
Fonction de transfert de Laplace
S
E
=
R 2 Cp
1 + (R 1 + R 2 )Cp
p ↔ jω
Figure 10.24 – Liens entre équation différentielle, transmittance harmonique et
transmittance de Laplace.
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