RÉSONANCE DANS UN SYSTÈME DU DEUXIÈME ORDRE
5.6 Interprétation
Le circuit est modifié afin d’étudier u C . En effet, il ne peut exister qu’une seule seule masse
dans le circuit. Il convient donc que la masse, imposée par l’alimentation et les moyens d’observation, soit identique pour la mesure de e et celle de u C .
L
e
R
C
u C
Figure 10.21 – Circuit d’étude de la tension u C .
La formule du diviseur de tension mène, en notation complexe, à :
u C
e
=
Z C
Z C + Z L + Z R
=
1
jCω
1
jCω
+ R + jLω
=
1
1 + jRCω + LC ( jω)
2
,
qui se met sous la forme, avec les notations du chapitre précédent, ω 0 =
1
√
LC
et ξ =
R
2
C
L
:
u C
e
=
1
1 + 2 jξ
ω
ω 0
+
j
ω
ω 0
2 .
En notant U C0 et E 0 les amplitudes des tensions, le module de cette expression est :
u C
e
=
U C0
E 0
=
1
1 −
ω 2
ω 2
0
2
+
2ξ
ω
ω 0
2
.
À quelle condition U C0 passe-t-elle par un maximum ? Attendu que le numérateur est une
constante, l’amplitude est maximale quand le dénominateur est minimum. Il est minimum
quand son carré l’est aussi. Avec la variable X =
ω
2
ω 2
0
, le carré du dénominateur est :
D (X) = (1 − X)
2 + 4ξ
2 X.
Un extremum est obtenu quand la dérivée est nulle :
dD
dX
= −2 (1 − X) + 4ξ
2
= 0 implique X = 1 − 2ξ
2
.
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5.6 Interprétation
Le circuit est modifié afin d’étudier u C . En effet, il ne peut exister qu’une seule seule masse
dans le circuit. Il convient donc que la masse, imposée par l’alimentation et les moyens d’observation, soit identique pour la mesure de e et celle de u C .
L
e
R
C
u C
Figure 10.21 – Circuit d’étude de la tension u C .
La formule du diviseur de tension mène, en notation complexe, à :
u C
e
=
Z C
Z C + Z L + Z R
=
1
jCω
1
jCω
+ R + jLω
=
1
1 + jRCω + LC ( jω)
2
,
qui se met sous la forme, avec les notations du chapitre précédent, ω 0 =
1
√
LC
et ξ =
R
2
C
L
:
u C
e
=
1
1 + 2 jξ
ω
ω 0
+
j
ω
ω 0
2 .
En notant U C0 et E 0 les amplitudes des tensions, le module de cette expression est :
u C
e
=
U C0
E 0
=
1
1 −
ω 2
ω 2
0
2
+
2ξ
ω
ω 0
2
.
À quelle condition U C0 passe-t-elle par un maximum ? Attendu que le numérateur est une
constante, l’amplitude est maximale quand le dénominateur est minimum. Il est minimum
quand son carré l’est aussi. Avec la variable X =
ω
2
ω 2
0
, le carré du dénominateur est :
D (X) = (1 − X)
2 + 4ξ
2 X.
Un extremum est obtenu quand la dérivée est nulle :
dD
dX
= −2 (1 − X) + 4ξ
2
= 0 implique X = 1 − 2ξ
2
.
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