SIGNAL SINUSOÏDAL
2.5 Représentation de Fresnel (MPSI)
a) Définition du vecteur de Fresnel
On associe au signal s(t) = A cos(ωt + ϕ) un vecteur appelé vecteur de Fresnel, qui a
une norme égale à A et qui fait, à l’instant t, l’angle ωt + ϕ avec l’axe des abscisses.
Ce vecteur tourne autour de l’origine à la vitesse angulaire ω (voir figure 1.5). Il s’agit du
vecteur
− − →
OM du paragraphe précédent. Dans cet ouvrage le vecteur de Fresnel associé au
signal s(t) est noté
− →
S .
X
Y
− →
S
1
ω
− →
DS
ωt +ϕ
1
ω 2
− − →
D 2 S
Figure 1.5 – Représentation de Fresnel d’un signal sinusoïdal et ses deux premières
dérivées. Les vecteurs
− →
DS et
− − →
D 2 S ont été multipliés respectivement par
1
ω
et
1
ω 2 pour
une question d’homogénéité.
b) Vecteur de Fresnel du signal dérivé
La dérivée par rapport au temps d’un signal sinusoïdal s(t) = A cos(ωt + ϕ) est aussi un
signal sinusoïdal, en effet :
ds
dt
= −ωA sin(ωt + ϕ) = ωA cos
ωt + ϕ +
π
2
.
L’amplitude de
ds
dt
est égale à l’amplitude de s(t) multipliée par ω et sa phase initiale est
égale à la phase initiale de s(t) augmentée de
π
2
. Ainsi :
Le vecteur de Fresnel associé à
ds
dt
s’obtient à partir du vecteur de Fresnel associé à s(t)
en effectuant les opérations suivantes :
• on tourne le vecteur d’un angle
π
2
dans le sens trigonométrique,
• on multiple la norme du vecteur par ω (voir figure 1.5).
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