SYSTÈMES DU PREMIER ORDRE
où :
arg(e) = arg (E 0 exp ( jωt)) = ωt,
et :
arg
u C
= arg (U C0 exp ( j (ωt + ϕ))) = ωt + ϕ.
Quant au complexe z = 1 + jRCω, son argument passe par sa tangente :
tan (arg (1 + jRCω)) =
RCω
1
= RCω.
Re (z)
Im (z)
C
1
RCω
arg (1 + jRCω)
1 + jRCω
Figure 10.6 – Argument et module du nombre complexe 1 + jRCω.
Finalement :
ωt = arctan (RCω) + ωt + ϕ
et
ϕ = − arctan (RCω) .
L’angle ϕ est ici obtenu directement avec son signe, négatif, u C (t) est donc bien en retard par
rapport à e (t).
Le rapport des amplitudes des deux tensions passe par un calcul de module :
u C
e
=
U C0 exp ( j (ωt + ϕ))
E 0 exp ( jωt)
=
U C0
E 0
,
car le module d’une exponentielle complexe vaut un. Ainsi :
U C0
E 0
=
u C
e
=
1
1 + jRCω
=
1
|1 + jRCω|
.
Et le module du complexe 1 + jRCω est : |1 + jRCω| =
1 2 + (RCω)
2 . Finalement :
U C0
E 0
=
1
1 + (RCω)
2
.
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