CHAPITRE 10 – RÉGIME SINUSOÏDAL
b) Opérations mathématiques
Les combinaisons linéaires de signaux sinusoïdaux sont immédiates. Le signal complexe
associé à :
s (t) = s 1 (t) + s 2 (t) ,
est :
s (t) = s 1 (t) + s 2 (t) ,
Le signal complexe associé à la dérivée de s (t) = S 0 cos (ωt + ϕ) est :
ds
dt
=
d
dt
(S 0 exp ( jωt)) = jω × S 0 exp ( jωt) .
Dériver un signal complexe revient à le multiplier par jω.
Le signal complexe associé à une primitive du signal s (t) = S 0 cos (ωt + ϕ) est :
ˆ
s (t) dt =
ˆ
S 0 exp ( jωt) dt =
S 0
jω
exp( jωt) .
Intégrer un signal complexe revient à le diviser par jω.
c) Application au circuit RC
L’équation différentielle qui régit l’évolution du circuit étudié est :
e (t) = RC
du C
dt
+ u C (t) .
Le signal complexe e associé à e (t) est :
e (t) = E 0 cos (ωt)
donc
e = E 0 exp( jωt) ,
(on a arbitrairement choisit un déphasage nul pour e (t), ce qui est toujours possible en décalant l’origine des temps) et u C celui associé à u C (t) :
u C (t) = E 0 cos (ωt + ϕ)
donc
u C = E 0 exp ( j (ωt + ϕ)) .
L’équation différentielle devient :
e = jRCωu C + u C = (1 + jRCω)u C .
On en déduit immédiatement les réponses aux questions posées en introduction.
Le déphasage ϕ entre e (t) et u C (t) se définit par l’argument de e = (1 + jRCω)u C , qui est :
arg (e) = arg(1 + jRCω) + arg
u C
,
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