CHAPITRE 10 – RÉGIME SINUSOÏDAL
On observe sur l’oscilloscope que e (t), en gris, passe par zéro avant u C (t), en noir. e (t) est
donc en avance sur u C (t), ou u C (t) est en retard sur e (t) d’une durée Δt : u C (t) est déphasé
par rapport à e (t) d’un déphasage ϕ < 0.
Pour savoir quel signal est en avance sur quel autre, il faut regarder le passage des
deux signaux par zéro, avec une pente de même signe.
✎
Comment mesurer le déphasage ϕ entre les deux signaux ? Comme on l’a vu au chapitre 1,
on le déduit du retard temporel Δt de u C (t) sur e(t), mesuré par la distance entre les deux
curseurs verticaux de l’oscilloscope, par la formule :
ϕ = −ωΔt = −2π f Δt.
Exemple
Sur la figure 10.4, on mesure Δt = 111 μs ce qui permet de calculer :
ϕ = −2π × 2, 2.10
3
× 111.10
−6
= −1, 53 rad = −88
◦ ;
On modélisera donc les deux signaux par :
e (t) = E 0 cos (ωt) et u C (t) = U C0 cos (ωt + ϕ).
3 Systèmes du premier ordre
Pour le circuit RC du paragraphe 2.2 précédent, comment prévoir a priori le déphasage entre
les deux signaux et leur rapport d’amplitude en régime permanent sinusoïdal ? Il existe deux
méthodes équivalentes dont la première est vectorielle, celle des vecteurs de Fresnel, introduite dans le chapitre 1, et la seconde algébrique.
3.1 Méthode des vecteurs de Fresnel (MPSI)
On a montré au chapitre 8 que, dans ce circuit, la tension u C (t) est liée à e(t) par l’équation
différentielle du premier ordre :
u C (t) + RC
du C
dt
= e(t).
Pour e(t) = E 0 cos(ωt) on cherche ici une solution u C (t) sinusoïdale qui correspond au régime permanent ou établi.
Pour cela on associe à chaque terme de l’équation un vecteur de Fresnel. Le vecteur de Fresnel
− →
E , associé à e (t), de norme E 0 , est donc la somme du vecteur de Fresnel
− →
U C , associé à u C (t),
de norme U C0 et de celui RC
− − →
DU C , associé à RC
du C
dt
, de norme RCωU C0 et tourné de
π
2
:
− →
U C + RC ×
− − →
DU C =
− →
E .
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On observe sur l’oscilloscope que e (t), en gris, passe par zéro avant u C (t), en noir. e (t) est
donc en avance sur u C (t), ou u C (t) est en retard sur e (t) d’une durée Δt : u C (t) est déphasé
par rapport à e (t) d’un déphasage ϕ < 0.
Pour savoir quel signal est en avance sur quel autre, il faut regarder le passage des
deux signaux par zéro, avec une pente de même signe.
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Comment mesurer le déphasage ϕ entre les deux signaux ? Comme on l’a vu au chapitre 1,
on le déduit du retard temporel Δt de u C (t) sur e(t), mesuré par la distance entre les deux
curseurs verticaux de l’oscilloscope, par la formule :
ϕ = −ωΔt = −2π f Δt.
Exemple
Sur la figure 10.4, on mesure Δt = 111 μs ce qui permet de calculer :
ϕ = −2π × 2, 2.10
3
× 111.10
−6
= −1, 53 rad = −88
◦ ;
On modélisera donc les deux signaux par :
e (t) = E 0 cos (ωt) et u C (t) = U C0 cos (ωt + ϕ).
3 Systèmes du premier ordre
Pour le circuit RC du paragraphe 2.2 précédent, comment prévoir a priori le déphasage entre
les deux signaux et leur rapport d’amplitude en régime permanent sinusoïdal ? Il existe deux
méthodes équivalentes dont la première est vectorielle, celle des vecteurs de Fresnel, introduite dans le chapitre 1, et la seconde algébrique.
3.1 Méthode des vecteurs de Fresnel (MPSI)
On a montré au chapitre 8 que, dans ce circuit, la tension u C (t) est liée à e(t) par l’équation
différentielle du premier ordre :
u C (t) + RC
du C
dt
= e(t).
Pour e(t) = E 0 cos(ωt) on cherche ici une solution u C (t) sinusoïdale qui correspond au régime permanent ou établi.
Pour cela on associe à chaque terme de l’équation un vecteur de Fresnel. Le vecteur de Fresnel
− →
E , associé à e (t), de norme E 0 , est donc la somme du vecteur de Fresnel
− →
U C , associé à u C (t),
de norme U C0 et de celui RC
− − →
DU C , associé à RC
du C
dt
, de norme RCωU C0 et tourné de
π
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:
− →
U C + RC ×
− − →
DU C =
− →
E .
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