CHAPITRE 9 – CIRCUIT LINÉAIRE DU SECOND ORDRE
La condition initiale sur la dérivée de u C impose :
du C
dt
t=0
= 0 = −ω 0 ξ u 1 + ω 0
1 − ξ 2 u 2 .
Ainsi :
u 2 =
ξ
1 − ξ 2
E 0 0, 40 × E 0 .
Finalement :
u C (t) = E 0 exp (−ω 0 ξ t)
cos
ω 0
1 − ξ 2 t
+
ξ
1 − ξ 2
sin
ω 0
1 − ξ 2 t
.
Ce résultat n’est évidement pas à connaître par cœur. Seule la méthode utilisée est à maîtriser.
La solution obtenue part bien de E 0 pour tendre vers 0, en oscillant avec une pseudopulsation
ω 0
1 − ξ 2 6, 9.10 3 rad.s −1 , ou une pseudopériode :
T =
2π
ω 0
1 − ξ 2
9, 4.10
−1 ms.
u C
E 0
t
T
Figure 9.12 – Pseudopériode d’un système du deuxième ordre.
6 Bilan énergétique
Multiplions par i (t) la loi des mailles qui permit d’établir l’équation différentielle modélisant
le comportement du circuit au paragraphe 2.1 pour obtenir :
e × i = u C × i + u L × i + u R × i,
soit :
ei = u C × C
du C
dt
+ L
di
dt
× i + Ri × i =
d
dt
1
2
Cu
2
C +
1
2
Li
2
+ Ri
2
.
Apparaissent dans cette équation l’énergie du condensateur, stockée sous forme électrique,
E élec =
1
2
Cu
2
C , ainsi que l’énergie de la bobine, stockée sous forme magnétique,
E magné =
1
2
Li
2 .
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