ANALOGIES
Dans le cas de l’essai indiciel, où le système est alimenté par une tension e (t) = E 0 , le bilan
de puissance s’écrit :
E 0 i =
d
dt
E élec + E magné
+ Ri
2
.
La puissance délivrée par le générateur (E 0 i) alimente les pertes par effet Joule
Ri
2
et
délivre de la puissance au condensateur et à la bobine. Le condensateur se charge, son énergie
augmente au cours du temps.
Quant au régime libre, pour lequel le système évolue librement, lorsque le GBF ne délivre
aucune tension (e = 0) :
d
dt
E élec + E magné
= −Ri
2
.
Dans ce cas, toute l’énergie contenue dans le condensateur et la bobine est dissipée par effet
Joule. L’état final est décrit par une énergie totale nulle, c’est à dire par u C (t) = 0 et i (t) = 0,
conformément aux observations expérimentales.
7 Analogies
Il existe de nombreux systèmes, tant en sciences physiques qu’en SII, décrits par des équations différentielles du deuxième ordre. Ces sytèmes sont nommés systèmes du deuxième
ordre.
Un exemple mécanique est celui d’une masse attachée à un ressort, qui oscille verticalement,
freinée par des frottements fluides avec l’air. La position x (t) de la masse est repérée par
rapport à sa position d’équilibre. Ce système est étudié dans la partie mécanique. Son mouvement obéit à l’équation différentielle :
m
d 2 x
dt 2 = −kx − f
dx
dt
.
Cette équation différentielle peut être écrite sous forme canonique :
m
k
d 2 x
dt 2 +
f
k
dx
dt
+ x (t) = 0 soit
1
ω 2
0
d 2 x
dt 2 +
2ξ
ω 0
dx
dt
+ x (t) = 0
sur laquelle on détermine la pulsation caractéristique ω 0 et le facteur d’amortissement ξ :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
1
ω 2
0
=
m
k
2ξ
ω 0
=
f
k
donc
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ω 0 =
k
m
ξ =
f
2
√
km
.
Le formalisme est alors totalement analogue entre électricité et mécanique.
327
Dans le cas de l’essai indiciel, où le système est alimenté par une tension e (t) = E 0 , le bilan
de puissance s’écrit :
E 0 i =
d
dt
E élec + E magné
+ Ri
2
.
La puissance délivrée par le générateur (E 0 i) alimente les pertes par effet Joule
Ri
2
et
délivre de la puissance au condensateur et à la bobine. Le condensateur se charge, son énergie
augmente au cours du temps.
Quant au régime libre, pour lequel le système évolue librement, lorsque le GBF ne délivre
aucune tension (e = 0) :
d
dt
E élec + E magné
= −Ri
2
.
Dans ce cas, toute l’énergie contenue dans le condensateur et la bobine est dissipée par effet
Joule. L’état final est décrit par une énergie totale nulle, c’est à dire par u C (t) = 0 et i (t) = 0,
conformément aux observations expérimentales.
7 Analogies
Il existe de nombreux systèmes, tant en sciences physiques qu’en SII, décrits par des équations différentielles du deuxième ordre. Ces sytèmes sont nommés systèmes du deuxième
ordre.
Un exemple mécanique est celui d’une masse attachée à un ressort, qui oscille verticalement,
freinée par des frottements fluides avec l’air. La position x (t) de la masse est repérée par
rapport à sa position d’équilibre. Ce système est étudié dans la partie mécanique. Son mouvement obéit à l’équation différentielle :
m
d 2 x
dt 2 = −kx − f
dx
dt
.
Cette équation différentielle peut être écrite sous forme canonique :
m
k
d 2 x
dt 2 +
f
k
dx
dt
+ x (t) = 0 soit
1
ω 2
0
d 2 x
dt 2 +
2ξ
ω 0
dx
dt
+ x (t) = 0
sur laquelle on détermine la pulsation caractéristique ω 0 et le facteur d’amortissement ξ :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
1
ω 2
0
=
m
k
2ξ
ω 0
=
f
k
donc
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ω 0 =
k
m
ξ =
f
2
√
km
.
Le formalisme est alors totalement analogue entre électricité et mécanique.
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