RÉPONSE À UN SIGNAL CRÉNEAUX
5.2 Modélisation du régime libre
La mise en équation complète de la phase de régime libre requiert :
• l’équation différentielle qui modélise l’évolution du système,
• les conditions initiales qui précisent de quels points le système part.
De plus, on choisit de prendre pour nouvel instant initial t = 0, la date où ce régime commence. Ce choix de la date t = 0 est toujours arbitraire.
Dans un régime libre, le système n’est plus alimenté, e (t) = 0. L’équation différentielle sur
u C (t) devient homogène (elle a un second membre nul) :
1
ω 2
0
d 2 u C
dt 2 +
2ξ
ω 0
du C
dt
+ u C = 0
avec
ω 0 7, 4.10 3 rad.s −1
ξ 0, 37 < 1.
Le système est faiblement amorti, ξ < 1, il oscille donc.
Quelle est la condition initiale ? L’observation des formes d’onde montre qu’en fin d’essai
indiciel, u C = E 0 et
du C
dt
= 0 pour t < 0. En effet, la tension aux bornes du condensateur reste
constante, donc le courant qui le traverse est nul i = C
du C
dt
= 0. À t = 0
+ , au tout début du
régime libre, u C (0
+
) = E 0 , car la tension aux bornes du condensateur est continue ; de même
i (0 + ) = C
du C
dt
t=0 +
= 0 car l’intensité du courant dans la bobine est continue. Ainsi, le
problème devient :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
1
ω 2
0
d 2 u C
dt 2 +
2ξ
ω 0
du C
dt
+ u C = 0
u C (0) = E 0
du C
dt
t=0
= 0
ω 0 7, 4.10 3 rad.s −1
(ξ 0, 37 < 1)
La solution de l’équation différentielle, qui est homogène, est identique à celle calculée pour
l’essai indiciel au paragraphe 3.3. Pour ξ < 1 :
u C (t) = exp (−ω 0 ξ t)
u 1 cos
ω 0
1 − ξ 2 t
+ u 2 sin
ω 0
1 − ξ 2 t
.
La condition initiale sur u C (0) impose :
u C (0) = E 0 = u 1 .
La dérivée de u C (t) par rapport à t est :
du C
dt
(t) = −ω 0 ξ exp(−ω 0 ξ t)
u 1 cos
ω 0
1 − ξ 2 t
+ u 2 sin
ω 0
1 − ξ 2 t
+ exp(−ω 0 ξ t) ω 0
1 − ξ 2
−u 1 sin
ω 0
1 − ξ 2 t
+ u 2 cos
ω 0
1 − ξ 2 t
.
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