SOLUTION DE L’ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
3.3 Solution complète
La solution générale u C (t) est la somme des solutions particulière, u C,p (t), et homogène,
u C,h (t) :
u C (t) = E 0 + u C,h (t) .
C’est sur cette solution complète qu’on identifie les constantes d’intégration par
application des conditions initiales.
✎
Il existe trois cas correspondants aux trois expressions différentes de u C,h (t) suivant le signe
de Δ.
Exemple
À titre d’exemple, le cas où ξ = 1 est entièrement résolu :
u C (t) = E 0 + (u 1 + μt)exp (−ω 0 ξ t) .
Les conditions initiales imposent u C (0) = 0 et
du C
dt
t=0
= 0 :
• u C (0) = 0 = E 0 + u 1 donc : u 1 = −E 0 ;
• la dérivée de u C (t) par rapport à t est :
du C
dt
(t) = μ exp (−ω 0 ξ t) + (u 1 + μt)(−ω 0 ξ ) exp(−ω 0 ξ t) ,
ainsi :
du C
dt
t=0
= 0 = μ − ω 0 ξ u 1 ,
d’où :
μ = ω 0 ξ E 0 .
Finalement, la solution de l’ensemble {équation différentielle, conditions initiales},
dans le cas ξ = 1 est :
u C (t) = E 0 + E 0 (1 + ω 0 ξ t)exp (−ω 0 ξ t).
Il est hors de question d’apprendre ce résultat par cœur. Seule la démarche doit être sue, ainsi
que l’allure des graphes pour chaque cas, pour une tension d’entrée e en échelon.
On observe que les cas apériodique ou critique on la même allure graphique. De plus :
Plus un système est amorti, c’est à dire plus son coefficient d’amortissement ξ est important, ou son facteur de qualité Q petit, moins il oscille.
Un oscillateur de grand facteur de qualité oscille beaucoup avant de s’arrêter.
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