CHAPITRE 9 – CIRCUIT LINÉAIRE DU SECOND ORDRE
Les solutions de l’équation caractéristique associée sont alors :
r 1 = ω 0
−ξ +
ξ 2 − 1
,
r 2 = ω 0
−ξ −
ξ 2 − 1
.
Les solutions de l’équation différentielle sont dès lors, avec u 1 et u 2 deux constantes d’intégration, inconnues à ce stade de la résolution :
u C,h (t) = u 1 e
r 1 t
+ u 2 e
r 2 t
= u 1 exp
ω 0 t
−ξ +
ξ 2 − 1
+ u 2 exp
ω 0 t
−ξ −
ξ 2 − 1
= exp (−ω 0 ξ t)
u 1 exp
ω 0
ξ 2 − 1 t
+ u 2 exp
−ω 0
ξ 2 − 1 t
.
Ce cas est nommé apériodique car aucune des fonctions utilisées n’est périodique.
b) Cas critique Δ = 0
Ce cas tire son nom de son caractère limite entre deux autres régimes. C’est le cas où ξ = 1
ou Q =
1
2
. Il correspond, dans l’expérience du paragraphe 1.2, à la valeur particulière
R = 2
L
C
8, 2 kΩ. On parle d’amortissement critique.
Comme démontré dans l’annexe sur les outils mathémtiques, la solution de l’équation homogène est alors :
u C,h (t) = (u 1 + μt)exp (−ω 0 ξ t) ,
où u 1 et μ sont deux constantes d’intégration, inconnues à ce stade de la résolution.
c) Cas pseudopériodique Δ < 0
C’est le cas où ξ < 1 ou Q >
1
2
, soit R < 2
L
C
8, 2 kΩ. Le système est faiblement
amorti, il correspond aux deux premières expériences du paragraphe 1.2.
Comme démontré dans l’annexe sur les outils mathématiques, la solution de l’équation homogène est alors :
u C,h (t) = exp (−ω 0 ξ t)
u 1 cos
ω 0
1 − ξ 2 t
+ u 2 sin
ω 0
1 − ξ 2 t
.
Des oscillations, dues aux fonctions trignométriques de pulsation ω 0
1 − ξ 2 , apparaissent
dans ce cas, d’où le nom pseudopériodique. L’ensemble n’est toutefois pas périodique à cause
de la présence du terme exp (−ω 0 ξ t). On retiendra que la pseudopulsation est différente de
ω 0 et vaut :
ω = ω 0
1 − ξ 2 .
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