SOLUTION DE L’ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
3 Solution de l’équation différentielle
La solution générale de l’équation différentielle linéaire avec second membre non nul (voir
annexe sur les outils mathématiques) est la somme d’une solution particulière, notée u C,p (t)
(indice p pour « particulière ») et d’une solution homogène, notée u C,h (t) (indice h pour
« homogène »).
3.1 Régime permanent ou établi
La solution particulière u C,p (t) est cherchée sous la forme d’une constante, comme l’entrée.
Sa dérivée première est donc nulle, ainsi que sa dérivée seconde. L’équation différentielle
devient donc
1
ω 2
0
× 0 +
2ξ
ω 0
× 0 + u C,p (t) = E 0 . Ainsi : u C,p (t) = E 0 .
En comparant aux graphes du paragraphe 1.2, où la sortie vaut E 0 en régime permament, on
voit que la solution particulière décrit le régime permanent ou établi. Ceci revêt un caractère
général.
Le régime permament ou établi est complètement décrit par la solution particulière.
3.2 Solutions homogènes
La solution homogène u C,h (t) est solution de l’équation homogène, c’est à dire avec un second membre nul :
1
ω 2
0
d 2 u C,h
dt 2 +
2ξ
ω 0
du C,h
dt
+ u C,h (t) = 0.
Sa résolution passe l’équation caractéristique associée par (voir annexe sur les outils mathématiques page 1070) :
r 2
ω 2
0
+
2ξ
ω 0
r + 1 = 0,
dont le discriminant Δ est Δ =
2ξ
ω 0
2
− 4 ×
1
ω 2
0
× 1 =
4
ω 2
0
ξ
2
− 1
.
Le comportement physique du système est différent suivant le signe de Δ. On distingue trois
cas :
a) Cas apériodique Δ > 0
Ce cas correspond à ξ
2
> 1 ou, comme ξ est positif, ξ > 1 ou Q <
1
2
. Il correspond,
dans l’expérience du paragraphe 1.2, à R > 2
L
C
8, 2 kΩ, c’est à dire aux deux dernières
expériences. Le système est alors fortement amorti.
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