CHAPITRE 9 – CIRCUIT LINÉAIRE DU SECOND ORDRE
ou bien, avec Q =
1
2ξ
:
1
ω 2
0
d
2 u C
dt 2 +
1
Qω 0
du C
dt
+ u C (t) = e (t) .
Les valeurs de ω 0 et ξ du circuit étudié peuvent être identifiées en comparant l’équation
différentielle et sa forme canonique :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
LC =
1
ω 2
0
RC =
2ξ
ω 0
donc
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
ω 0 =
1
√
LC
ξ =
R
2
C
L
Le facteur de qualité vaut ici Q =
1
2ξ
=
1
R
L
C
.
✎
2.3 Conditions initiales
On a vu dans le chapitre précédent que la résolution mathématique d’une équation différentielle du premier ordre τ
ds
dt
+ s = s ∞ requiert une condition initiale sur le signal s (t) cherché,
en général la valeur s (0) à l’instant initial. En effet, si l’équation différentielle pilote l’évolution du système, il convient d’expliquer de quel état il part.
De même, la résolution d’une équation différentielle du deuxième ordre requiert deux conditions initiales, comme dans le cas de l’oscillateur harmonique où l’on doit disposer de deux
conditions initiales sur la position et la vitesse. Dans l’exemple du cicuit RLC étudié, il s’agit
des valeurs en t = 0 de u C (t) et de sa dérivée : u C (0) et
du C
dt
t=0
.
Sur les oscillographes initiaux, il apparaît que e (t) est nul pour t < 0, le circuit n’est pas
alimenté, toutes les tensions sont, elles aussi, nulles, par exemple u C (t). Or la tension u C (t)
aux bornes du condensateur de capacité C est continue ; elle était nulle pour t < 0, elle le reste
en t = 0 :
u C (0) = 0.
La tension u R (t) = Ri (t), donc l’intensité i (t) du courant, étaient nuls pour t < 0. Attendu
que l’intensité du courant est continue dans une bobine d’inductance L, elle reste nulle en
t = 0 : i (0) = 0. Or i (t) = C
du C
dt
et ainsi :
du C
dt
t=0
= 0.
Le couple {équation différentielle, conditions initiales} à résoudre est maintenant complet.
Attendu que pour t > 0, e (t) = E 0 :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
1
ω 2
0
d 2 u C
dt 2 +
2ξ
ω 0
du C
dt
+ u C (t) = E 0
u C (0) = 0
du C
dt
t=0
= 0.
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