ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE SUR LA TENSION AUX BORNES DU CONDENSATEUR
De plus, R, L et C sont traversés par le même courant d’intensité i (t) :
u R (t) = Ri (t) ,
u L (t) = L
di
dt
et
i (t) = C
du C
dt
.
Ainsi :
u R (t) = Ri (t) = RC
du C
dt
et
u L (t) = L
di
dt
= LC
d
dt
du C
dt
= LC
d 2 u C
dt 2 .
On remarque que c’est la dérivée seconde de u C (t) qui intervient dans u L (t).
La loi des mailles devient finalement :
e (t) = LC
d 2 u C
dt 2 + RC
du C
dt
+ u C (t) .
Cette équation différentielle, du deuxième ordre (voir appendice mathématique), décrit l’évolution de la tension u C (t) dans le circuit.
2.2 Forme canonique de l’équation différentielle
Quelles sont les unités des différents termes de l’équation différentielle ?
e (t) et u C (t) sont en volts :
[e (t)] = V, [u C (t)] = V.
Ainsi la dérivée
du C
dt
est en volts divisés par des secondes :
du C
dt
= V.s −1 .
Et la dérivée seconde
d 2 u C
dt 2 est en volts divisés par des secondes au carré. C’est, en effet, une
dérivée temporelle (en s −1 ) d’une dérivée première (en V.s −1 ) :
d
2 u C
dt 2
= V.s −2 .
Pour que l’équation différentielle soit homogène, c’est-à-dire que tous les termes sommés
aient la même unité, le volt, il faut que :
[LC] = s
2
et
[RC] = s.
Afin d’écrire toutes les équations différentielles du deuxième ordre de la même manière, on
définit :
• la pulsation caractéristique ω 0 , qui s’exprime en rad.s −1 ,
• le facteur d’amortissement ξ , qui est sans dimension,
• la facteur de qualité Q =
1
2ξ
, qui est sans dimension.
Les équations différentielles du deuxième ordre sont alors écrites sous la forme canonique :
1
ω 2
0
d 2 u C
dt 2 +
2ξ
ω 0
du C
dt
+ u C (t) = e (t) .
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