CHAPITRE 1 – OSCILLATEUR HARMONIQUE
2 Signal sinusoïdal
2.1 Définition du signal sinusoïdal
Un signal sinusoïdal est un signal de la forme :
s(t) = A cos(ωt + ϕ).
où A et ω sont des constantes positives et ϕ une constante.
ω est la pulsation du signal, A son amplitude, et ϕ sa phase initiale.
Un signal sinusoïdal peut aussi être écrit sous la forme :
s(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt),
où a et b sont deux constantes. C’est sous cette forme qu’on l’obtient naturellement
en résolvant l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique.
Il faut savoir trouver la valeur de l’amplitude et de la phase initiale de ce signal.
La relation de trigonométrie cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β (voir appendice
mathématique) permet d’écrire : A cos(ωt + ϕ) = A cos ϕ cos(ωt) − A sin ϕ sin(ωt).
On en déduit :
cos ϕ =
a
A
et sin ϕ = −
b
A
d’où
A =
a 2 + b 2 ,
(1.8)
puisque cos 2 ϕ + sin
2
ϕ = 1.
Pour déterminer ϕ on peut utiliser la méthode suivante qui donne une valeur comprise entre −π et π : il s’agit de arccos
a
A
si sin ϕ > 0 et de − arccos
a
A
si
sin ϕ < 0.
✎
2.2 Phase instantanée, phase initiale
L’argument de la fonction cosinus est appelée phase instantanée.
Le signal oscille entre −A et A : il vaut A aux instants où la phase instantanée est égale à 2nπ
où n est un entier, il vaut −A aux instants où elle est égale à (2n + 1)π, il vaut 0 et a une pente
négative aux instants où elle est égale à
2n +
1
2
π, et il vaut 0 et a une pente positive aux
instants où elle est égale à
2n −
1
2
π. Ceci est illustré sur la figure 1.3.
La phase initiale ϕ donne la valeur de départ du signal à t = 0. Elle dépend de l’origine
des temps choisie. De plus, le cosinus étant une fonction périodique de période 2π, la phase
initiale n’est définie qu’à un multiple entier de 2π près. On peut ainsi toujours se ramener à
une phase initiale comprise entre −π et π.
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