UN OSCILLATEUR HARMONIQUE MÉCANIQUE
1.6 Amplitude et période du mouvement
a) Amplitude du mouvement
L’amplitude A du mouvement est la valeur maximale atteinte par x(t). Dans le cas où x 0 = 0
et v 0 = 0, A = x 0 ; dans le cas où x 0 = 0 et v 0 = 0, A =
v 0
ω 0
. Quelle est l’expression de A dans
le cas général où x 0 = 0 et v 0 = 0 ?
On peut utiliser la conservation de l’énergie : lorsque x(t) passe par la valeur maximale A, sa
dérivée est nulle donc l’énergie cinétique est nulle. Par suite :
E m =
1
2
kA
2
+ 0.
L’expression (1.6) de l’énergie mécanique conduit alors à :
A =
x 2
0 +
v 2
0
ω 2
0
.
b) Période
Comme on l’observe sur la figure 1.2, le mouvement du mobile est oscillatoire et périodique :
les valeurs de x(t) se répètent à intervalle régulier. Mathématiquement cela provient de la
périodicité des fonctions cosinus et sinus : cos(θ + 2π) = cos θ et sin(θ + 2π) = sin θ . Alors :
cos(ω 0 t) = cos(ω 0 t + 2π) = cos
ω 0
t +
2π
ω 0
,
et de même : sin(ω 0 t) = sin
ω 0
t +
2π
ω 0
. Ainsi, on a :
x(t) = x(t + T 0 ) avec
T 0 =
2π
ω 0
= 2π
m
k
.
(1.7)
Cette relation signifie que le mouvement est périodique de période T 0 . La période ne dépend pas de l’amplitude du mouvement, c’est la propriété d’isochronisme des oscillations
de l’oscillateur harmonique. On peut alors parler de période de l’oscillateur harmonique. T 0
augmente avec la masse m du mobile et diminue avec la constante de raideur k du ressort, ce
qui est intuitif.
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