CHAPITRE 1 – OSCILLATEUR HARMONIQUE
on trouve :
E c (t) =
1
2
m (−ω 0 x 0 sin(ω 0 t) + v 0 cos(ω 0 t))
2
=
1
2
m
ω
2
0 x
2
0 sin
2
(ω 0 t) + v
2
0 cos
2
(ω 0 t) − 2ω 0 x 0 v 0 cos(ω 0 t) sin(ω 0 t)
,
et :
E p (t) =
1
2
k
x 0 cos(ω 0 t) +
v 0
ω 0
sin(ω 0 t)
2
=
1
2
k
x
2
0 cos
2
(ω 0 t) +
v 2
0
ω 2 sin
2
(ω 0 t) + 2x 0
v 0
ω 0
cos(ω 0 t) sin(ω 0 t)
=
1
2
m
ω
2
0 x
2
0 cos
2
(ω 0 t) + v
2
0 sin
2
(ω 0 t) + 2ω 0 x 0 v 0 cos(ω 0 t) sin(ω 0 t)
,
en utilisant la relation k = mω 2
0 . L’énergie mécanique s’écrit :
E m (t) = E p (t) + E c (t)
=
1
2
m
ω
2
0 x
2
0
cos
2
(ω 0 t) + sin
2
(ω 0 t)
+ v
2
0
cos
2
(ω 0 t) + sin
2
(ω 0 t)
=
1
2
m
ω
2
0 x
2
0 + v
2
0
=
1
2
k
x
2
0 +
v
2
0
ω 2
0
=
1
2
kx
2
0 +
1
2
mv
2
0 .
(1.6)
en utilisant encore la relation k = mω 2
0 . L’énergie mécanique est donc constante dans le temps.
On reconnaît dans la dernière expression la valeur de l’énergie mécanique à l’instant initial.
Ce résultat est cohérent avec le fait que l’on étudie un système idéalisé dont l’amortissement est négligé : on ne prend en compte aucun type de frottement. C’est pourquoi il y a
conservation de l’énergie mécanique.
Remarque
Dans les deux cas particuliers du paragraphe b) on fournit son énergie au système :
• sous forme d’énergie potentielle uniquement quand x 0 = 0 et v 0 = 0 ;
• sous forme d’énergie cinétique uniquement quand x 0 = 0 et v 0 = 0.
L’équation différentielle (1.1) peut être établie à partir de la relation de conservation
de l’énergie mécanique : E m =
1
2
m
dx
dt
2
+
1
2
kx(t)
2
= constante. En effet, il vient
si l’on dérive par rapport au temps :
m
dx
dt
d 2 x
dt 2 + kx(t)
dx
dt
= 0,
ce qui redonne l’équation différentielle (1.1), après simplification par le terme
dx
dt
.
✎
28