UN OSCILLATEUR HARMONIQUE MÉCANIQUE
0
t
x 0
v 0
ω 0
A
−x 0
−A
−
v 0
ω 0
T 0
x(t)
Figure 1.2 – Représentation graphique de x(t) en fonction de t. En gris clair : cas
x 0 = 0 et v 0 = 0 ; en gris foncé : cas x 0 = 0 et v 0 = 0 ; en noir : cas x 0 = 0 et v 0 = 0. La
période des oscillations est T 0 =
2π
ω 0
= 2π
m
k
(voir paragraphe 2).
d) Généralisation
La solution de l’équation de l’oscillateur harmonique (1.2) est de la forme :
x(t) = a cos(ω 0 t) + b sin(ω 0 t)
où a et b sont des constantes fixées par les conditions initiales.
1.5 Conservation de l’énergie mécanique
Lorsqu’il est en mouvement le mobile possède une énergie cinétique qui se calcule par la
formule :
E c =
1
2
mv
2
=
1
2
m
dx
dt
2
.
Le ressort quant à lui n’a pas de masse donc pas d’énergie cinétique, mais il possède une
énergie appelée énergie potentielle liée à sa déformation et dont on admettra ici l’expression :
E p =
1
2
kx
2
.
La somme de ces deux énergies est l’énergie mécanique :
E m = E p + E c =
1
2
kx
2
+
1
2
m
dx
dt
2
.
Que valent ces énergies au cours du temps ?
Si l’on injecte la solution x(t) = x 0 cos(ω 0 t) +
v 0
ω 0
sin(ω 0 t) dans les expressions précédentes
27