CHAPITRE 1 – OSCILLATEUR HARMONIQUE
où x 0 est une constante. On a alors, en utilisant des formules classiques de dérivation (voir
l’appendice mathématique) :
dx
dt
= −ωx 0 sin(ω 0 t),
d 2 x
dt 2 =
d
dt
(−ω 0 x 0 sin(ω 0 t)) = −ω
2
0 x 0 cos(ω 0 t) = −ω
2
0 x(t) = −
k
m
x(t).
Ainsi cette fonction x(t) vérifie l’équation différentielle (1.1).
À quelle situation physique la solution trouvée correspond-elle ? Les conditions initiales vérifiées sont :
x(0) = x 0 cos(0) = x 0 et
dx
dt
t=0
= ωx 0 sin(0) = 0.
Il s’agit du cas où on lâche le mobile dans la position x = x 0 sans lui communiquer de vitesse
initiale. Dans ce cas, x(t) oscille entre −x 0 et x 0 puisque la fonction cosinus oscille entre −1
et 1 (voir figure 1.2).
Cas où x 0 = 0 et v 0 = 0 On peut imaginer une autre manière de lancer le mobile : sans
l’écarter de sa position d’équilibre, lui communiquer une vitesse v 0
− → u x . Quelle est alors la loi
du mouvement x(t) ? Les conditions initiales que doit vérifier cette solution sont :
x(0) = 0 et
dx
dt
t=0
= v 0 .
La fonction : x(t) = b sin(ω 0 t), où b est une constante est aussi une solution de l’équation
différentielle du mouvement comme le montre le calcul suivant :
dx
dt
= ω 0 b cos(ω 0 t),
d 2 x
dt 2 =
d
dt
(ω 0 b cos(ω 0 t)) = −ω
2
0 b sin(ω 0 t) = −ω
2
0 x(t) = −
k
m
x(t).
Elle vérifie les conditions initiales si : x(0) = b sin(0) = 0, et si :
dx
dt
t=0
= ω 0 b cos(0) = v 0 .
Il faut donc que : b =
v 0
ω
. Finalement, la solution de l’équation différentielle correspondant à
ces conditions initiales est :
x(t) =
v 0
ω 0
sin(ω 0 t).
(1.4)
Cette solution x(t) oscille entre −
v 0
ω 0
et
v 0
ω 0
puisque la fonction sinus oscille entre −1 et 1
(voir figure 1.2).
c) Solution pour des conditions initiales quelconques
On peut vérifier facilement que la somme des deux solutions précédemment trouvées,
x(t) = x 0 cos(ω 0 t) +
v 0
ω 0
sin(ω 0 t),
(1.5)
est aussi une solution de l’équation différentielle et qu’elle vérifie les conditions initiales
x(0) = x 0 et
dx
dt
t=0
= v 0 . On a ainsi la solution pour un jeu de conditions initiales quelconque. Sur la figure 1.2 on voit que x(t) oscille entre deux valeurs opposées −A et A.
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où x 0 est une constante. On a alors, en utilisant des formules classiques de dérivation (voir
l’appendice mathématique) :
dx
dt
= −ωx 0 sin(ω 0 t),
d 2 x
dt 2 =
d
dt
(−ω 0 x 0 sin(ω 0 t)) = −ω
2
0 x 0 cos(ω 0 t) = −ω
2
0 x(t) = −
k
m
x(t).
Ainsi cette fonction x(t) vérifie l’équation différentielle (1.1).
À quelle situation physique la solution trouvée correspond-elle ? Les conditions initiales vérifiées sont :
x(0) = x 0 cos(0) = x 0 et
dx
dt
t=0
= ωx 0 sin(0) = 0.
Il s’agit du cas où on lâche le mobile dans la position x = x 0 sans lui communiquer de vitesse
initiale. Dans ce cas, x(t) oscille entre −x 0 et x 0 puisque la fonction cosinus oscille entre −1
et 1 (voir figure 1.2).
Cas où x 0 = 0 et v 0 = 0 On peut imaginer une autre manière de lancer le mobile : sans
l’écarter de sa position d’équilibre, lui communiquer une vitesse v 0
− → u x . Quelle est alors la loi
du mouvement x(t) ? Les conditions initiales que doit vérifier cette solution sont :
x(0) = 0 et
dx
dt
t=0
= v 0 .
La fonction : x(t) = b sin(ω 0 t), où b est une constante est aussi une solution de l’équation
différentielle du mouvement comme le montre le calcul suivant :
dx
dt
= ω 0 b cos(ω 0 t),
d 2 x
dt 2 =
d
dt
(ω 0 b cos(ω 0 t)) = −ω
2
0 b sin(ω 0 t) = −ω
2
0 x(t) = −
k
m
x(t).
Elle vérifie les conditions initiales si : x(0) = b sin(0) = 0, et si :
dx
dt
t=0
= ω 0 b cos(0) = v 0 .
Il faut donc que : b =
v 0
ω
. Finalement, la solution de l’équation différentielle correspondant à
ces conditions initiales est :
x(t) =
v 0
ω 0
sin(ω 0 t).
(1.4)
Cette solution x(t) oscille entre −
v 0
ω 0
et
v 0
ω 0
puisque la fonction sinus oscille entre −1 et 1
(voir figure 1.2).
c) Solution pour des conditions initiales quelconques
On peut vérifier facilement que la somme des deux solutions précédemment trouvées,
x(t) = x 0 cos(ω 0 t) +
v 0
ω 0
sin(ω 0 t),
(1.5)
est aussi une solution de l’équation différentielle et qu’elle vérifie les conditions initiales
x(0) = x 0 et
dx
dt
t=0
= v 0 . On a ainsi la solution pour un jeu de conditions initiales quelconque. Sur la figure 1.2 on voit que x(t) oscille entre deux valeurs opposées −A et A.
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