UN OSCILLATEUR HARMONIQUE MÉCANIQUE
On appelle oscillateur harmonique un système physique décrit par une grandeur x(t)
dépendant du temps et vérifiant une équation différentielle de la forme :
d 2 x
dt 2 = −ω
2
0 x(t)
(1.2)
où ω 0 est une constante réelle positive qui est appelée pulsation propre de l’oscillateur
harmonique et qui s’exprime en rad.s
−1 .
Remarque
L’unité de ω 0 se déduit de l’homogénéité de l’équation différentielle. En effet, la dérivée
seconde par rapport au temps a pour dimension physique la dimension de x divisée par
un temps au carré. Donc ω 2
0 a la dimension des s −2 et ω 0 a la dimension des s −1 . Le
radian n’a pas de dimension physique.
La masse accrochée au ressort du paragraphe précédent est un oscillateur harmonique mécanique, de pulsation :
ω 0 =
k
m
.
On en verra d’autres exemples, en mécanique ou en électricité.
1.4 Résolution de l’équation différentielle
a) Position du problème
Résoudre une équation différentielle consiste à trouver l’expression de la fonction inconnue
x(t) qui vérifie cette relation. Mais l’équation ne détermine pas de manière unique x(t). Parmi
les fonctions qui la vérifient, on doit choisir celle qui respecte des conditions initiales qui
sont connues a priori.
Pour une équation du deuxième ordre, comme l’équation d’un oscillateur harmonique, les
conditions initiales consistent en la donnée :
• de la valeur de la fonction inconnue à l’instant initial t = 0 : x(0),
• de la valeur de la dérivée première de la fonction inconnue à l’instant initial :
dx
dt
t=0
.
On va résoudre cette équation dans le cas du mobile accroché au ressort. Les condition initiales sont :
• la position initiale : x(0) = x 0 ,
• la vitesse initiale :
dx
dt
t=0
= v 0 .
b) Solutions dans deux cas particuliers
Cas où x 0 = 0 et v 0 = 0. On considère la fonction :
x(t) = x 0 cos(ω 0 t)
(1.3)
25
On appelle oscillateur harmonique un système physique décrit par une grandeur x(t)
dépendant du temps et vérifiant une équation différentielle de la forme :
d 2 x
dt 2 = −ω
2
0 x(t)
(1.2)
où ω 0 est une constante réelle positive qui est appelée pulsation propre de l’oscillateur
harmonique et qui s’exprime en rad.s
−1 .
Remarque
L’unité de ω 0 se déduit de l’homogénéité de l’équation différentielle. En effet, la dérivée
seconde par rapport au temps a pour dimension physique la dimension de x divisée par
un temps au carré. Donc ω 2
0 a la dimension des s −2 et ω 0 a la dimension des s −1 . Le
radian n’a pas de dimension physique.
La masse accrochée au ressort du paragraphe précédent est un oscillateur harmonique mécanique, de pulsation :
ω 0 =
k
m
.
On en verra d’autres exemples, en mécanique ou en électricité.
1.4 Résolution de l’équation différentielle
a) Position du problème
Résoudre une équation différentielle consiste à trouver l’expression de la fonction inconnue
x(t) qui vérifie cette relation. Mais l’équation ne détermine pas de manière unique x(t). Parmi
les fonctions qui la vérifient, on doit choisir celle qui respecte des conditions initiales qui
sont connues a priori.
Pour une équation du deuxième ordre, comme l’équation d’un oscillateur harmonique, les
conditions initiales consistent en la donnée :
• de la valeur de la fonction inconnue à l’instant initial t = 0 : x(0),
• de la valeur de la dérivée première de la fonction inconnue à l’instant initial :
dx
dt
t=0
.
On va résoudre cette équation dans le cas du mobile accroché au ressort. Les condition initiales sont :
• la position initiale : x(0) = x 0 ,
• la vitesse initiale :
dx
dt
t=0
= v 0 .
b) Solutions dans deux cas particuliers
Cas où x 0 = 0 et v 0 = 0. On considère la fonction :
x(t) = x 0 cos(ω 0 t)
(1.3)
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