CHAPITRE 1 – OSCILLATEUR HARMONIQUE
1.2 Obtention d’une équation différentielle
a) Forces s’exerçant sur le système
Le ressort exerce sur le mobile une force qui s’écrit :
− →
F = −kx − → u x ,
où k est la constante de raideur du ressort. Cette force est une force de rappel : son sens est
opposé au sens du déplacement du mobile par rapport à sa position d’équilibre (la position
x = 0). Lorsque x est positif, la force est de sens opposé à − → u x et inversement. On trouvera
plus de renseignements sur la force d’un ressort dans le chapitre Principes de la dynamique
newtonienne.
Le mobile est aussi soumis à son poids m − → g ainsi qu’à une réaction
− →
R de la tige. Ces deux
forces sont verticales et n’ont pas d’influence sur le mouvement qui est horizontal.
b) Application du principe fondamental de la dynamique
Le mouvement du mobile est régi par le principe fondamental de la dynamique (ou troisième
loi de Newton), qui s’écrit :
d − → p
dt
=
− →
F
où − → p est la quantité de mouvement du mobile. En notant − →
v G la vitesse instantanée du centre
d’inertie G du mobile, on a :
− → p = m − →
v G = m
dx
dt
− → u x .
Dans cette relation,
dx
dt
est la dérivée de la fonction x(t). On notera
d 2 x
dt 2 la dérivée seconde de
cette fonction. Le principe fondamental de la dynamique conduit donc à la relation, vérifiée
à chaque instant :
d
dt
m
dx
dt
− → u x
= −kx − → u x , soit : m
d 2 x
dt 2
− → u x = −kx − → u x , soit après simplification :
d 2 x
dt 2 = −
k
m
x.
(1.1)
La relation qui vient d’être obtenue est appelée équation différentielle. Une équation différentielle est une relation entre une fonction x(t) et ses dérivées par rapport au temps
dx
dt
,
d 2 x
dt 2 ..., qui est vérifiée à chaque instant. Ici, on a trouvé une équation du deuxième ordre, car
l’ordre de dérivation le plus grand qui apparaît dans l’équation (le seul ici, mais il pourrait y
en avoir plusieurs) est égal à deux.
1.3 Définition d’un oscillateur harmonique
L’équation différentielle (1.1) est une équation différentielle d’oscillateur harmonique.
24
1.2 Obtention d’une équation différentielle
a) Forces s’exerçant sur le système
Le ressort exerce sur le mobile une force qui s’écrit :
− →
F = −kx − → u x ,
où k est la constante de raideur du ressort. Cette force est une force de rappel : son sens est
opposé au sens du déplacement du mobile par rapport à sa position d’équilibre (la position
x = 0). Lorsque x est positif, la force est de sens opposé à − → u x et inversement. On trouvera
plus de renseignements sur la force d’un ressort dans le chapitre Principes de la dynamique
newtonienne.
Le mobile est aussi soumis à son poids m − → g ainsi qu’à une réaction
− →
R de la tige. Ces deux
forces sont verticales et n’ont pas d’influence sur le mouvement qui est horizontal.
b) Application du principe fondamental de la dynamique
Le mouvement du mobile est régi par le principe fondamental de la dynamique (ou troisième
loi de Newton), qui s’écrit :
d − → p
dt
=
− →
F
où − → p est la quantité de mouvement du mobile. En notant − →
v G la vitesse instantanée du centre
d’inertie G du mobile, on a :
− → p = m − →
v G = m
dx
dt
− → u x .
Dans cette relation,
dx
dt
est la dérivée de la fonction x(t). On notera
d 2 x
dt 2 la dérivée seconde de
cette fonction. Le principe fondamental de la dynamique conduit donc à la relation, vérifiée
à chaque instant :
d
dt
m
dx
dt
− → u x
= −kx − → u x , soit : m
d 2 x
dt 2
− → u x = −kx − → u x , soit après simplification :
d 2 x
dt 2 = −
k
m
x.
(1.1)
La relation qui vient d’être obtenue est appelée équation différentielle. Une équation différentielle est une relation entre une fonction x(t) et ses dérivées par rapport au temps
dx
dt
,
d 2 x
dt 2 ..., qui est vérifiée à chaque instant. Ici, on a trouvé une équation du deuxième ordre, car
l’ordre de dérivation le plus grand qui apparaît dans l’équation (le seul ici, mais il pourrait y
en avoir plusieurs) est égal à deux.
1.3 Définition d’un oscillateur harmonique
L’équation différentielle (1.1) est une équation différentielle d’oscillateur harmonique.
24