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CHAPITRE 8 – CIRCUIT LINÉAIRE DU PREMIER ORDRE
E
E
e
u
t
t
8.5 Étude d’un circuit RL
1. L’écriture de la loi des mailles donne e = Ri + s et celle de la loi des nœuds i = i R + i L . On
la continuité de l’intensité traversant une inductance permet d’écrire la continuité de i L soit
i L (0 + ) = 0. Cette valeur implique dans la loi des nœuds que i(0 + ) = i R (0 + ). On obtient alors
la tension s par la relation du pont diviseur de tension s(0 + ) =
R
2
i R (0
+
) =
R
2
i(0
+
). Finalement
en reportant dans la loi des mailles, on en déduit E = Ri(0 + ) + s(0 + ) soit i(0 + ) =
2E
3R
. Par
conséquent, l’intensité i est discontinue puisque i(0 − ) = 0.
La modélisation du système par sa fonction de transfert, alliée à l’utilisation du théorème de
la valeur initiale, vu en cours de SI, permettra dans la suite de résoudre bien plus aisément ce
genre de question.
2. D’après la question précédente, on a s(0 + ) =
E
3
qui est également discontinue puisque
s(0 − ) = 0.
3. Lorsque le temps t tend vers l’infini, on obtient le régime permanent et les dérivées temporelles sont donc nulles. On obtient donc s = L
di
dt
= 0 pour un temps infini.
4. La loi des mailles e = Ri + s avec s = L
di L
dt
et la loi des nœuds i = i L + i R permet d’obtenir en dérivant
de
dt
= R
di L
dt
+ R
di R
dt
+
ds
dt
= R
s
L
+ R
d
dt
2s
R
+
ds
dt
. L’équation différentielle
demandée est donc 3
ds
dt
+
R
L
s =
de
dt
.
La modélisation du système par sa fonction de transfert permettra dans la suite de résoudre
bien plus aisément ce genre de question.
5. On résout cette équation différentielle dont la solution est la somme de la solution de
l’équation homogène associée S exp
−
R
3L
t
et d’une solution particulière s = 0. On détermine la constante d’intégration S en utilisant la condition initiale soit finalement s =
E
3
exp
−
R
3L
t
.
6. L’allure de s(t) est donc la suivante :
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