Exercices Exercices Corrigés
CHAPITRE 8 – CIRCUIT LINÉAIRE DU PREMIER ORDRE
CORRIGÉS
8.1 Constantes de temps
La réponse indicielle vaut 63% de la valeur finale en t = τ. On lit graphiquement pour le
système 1 : τ = 2s.
La réponse indicielle a perdu 63% de la valeur initiale en t = τ. On lit graphiquement pour le
système 2 : τ = 2s.
8.2 Réponse d’un système
1. Il convient d’écrire l’équation différentielle sous sa forme canonique τ
d f
dt
+ 1 × f (t) = ...
(le coefficient devant f doit être 1). Ici :
2
8
d f
dt
+ f (t) =
2
8
e (t) doonc τ =
2
8
= 0, 25 s.
2. La solution de l’équation différentielle est la somme de la solution homogène f h (t) =
μ exp
−
t
τ
et de la solution particulière f p (t) =
2
8
× 5 = 1, 25 V (cherchée sous la même
que l’entrée, constante). La constante d’intégration est trouvée avec la condition initiale en
t = 0 : f (0) = μ + 1, 25 = 0 donc μ = −1, 25 V. et f (t) = 1, 25
1 − exp
−
t
τ
(V).
8.3 Résistance de fuite d’un condensateur
1. Lorsqu’on ouvre l’interrupteur, la capacité C se trouve uniquement relié à la résistance
R f dans laquelle elle se décharge. Ceci explique la diminution de la tension aux bornes du
condensateur.
2. La décharge de C dans R f vérifie l’équation différentielle suivante :
du
dt +
u
R f C = 0 en notant
u la tension aux bornes du condensateur. Compte tenu des conditions initiales : u(0) = E, la
solution s’écrit : u = E exp
−
t
R f C
. Or à t = T , u = E donc : R f =
T
C ln
E
E .
8.4 Étude expérimentale d’un circuit RC
1. On observe une charge du condensateur : une loi des mailles permet d’obtenir l’équation
différentielle : RC
du C
dt
+ u C = E dont la solution est, compte tenu des conditions initiales,
u C = E
1 − exp
−
t
RC
= E
1 − exp
−
t
τ
. La tension du condensateur tend vers E.
2. L’équation différentielle s’écrit maintenant : RC
du C
dt
+ u C = 0. La solution est : u C =
E exp
−
t
τ
. On en déduit : ln
E
u C
=
t
τ On obtient donc une droite de pente
1
τ
.
3. On obtient bien une droite comme l’annonce la théorie mais la pente vaut 0,02 au lieu de
0,01. L’écart est significatif.
t (s)
5
10
15
20
30
45
60
90
120 150
u C (V) 9,05 8,19 7,41 6,70 5,49 4,07 3,01 1,65 0,91 0,50
ln
E
u C
0,10 0,20 0,30 0,40 0,60 0,90 1,20 1,80 2,40 3,00
308
CHAPITRE 8 – CIRCUIT LINÉAIRE DU PREMIER ORDRE
CORRIGÉS
8.1 Constantes de temps
La réponse indicielle vaut 63% de la valeur finale en t = τ. On lit graphiquement pour le
système 1 : τ = 2s.
La réponse indicielle a perdu 63% de la valeur initiale en t = τ. On lit graphiquement pour le
système 2 : τ = 2s.
8.2 Réponse d’un système
1. Il convient d’écrire l’équation différentielle sous sa forme canonique τ
d f
dt
+ 1 × f (t) = ...
(le coefficient devant f doit être 1). Ici :
2
8
d f
dt
+ f (t) =
2
8
e (t) doonc τ =
2
8
= 0, 25 s.
2. La solution de l’équation différentielle est la somme de la solution homogène f h (t) =
μ exp
−
t
τ
et de la solution particulière f p (t) =
2
8
× 5 = 1, 25 V (cherchée sous la même
que l’entrée, constante). La constante d’intégration est trouvée avec la condition initiale en
t = 0 : f (0) = μ + 1, 25 = 0 donc μ = −1, 25 V. et f (t) = 1, 25
1 − exp
−
t
τ
(V).
8.3 Résistance de fuite d’un condensateur
1. Lorsqu’on ouvre l’interrupteur, la capacité C se trouve uniquement relié à la résistance
R f dans laquelle elle se décharge. Ceci explique la diminution de la tension aux bornes du
condensateur.
2. La décharge de C dans R f vérifie l’équation différentielle suivante :
du
dt +
u
R f C = 0 en notant
u la tension aux bornes du condensateur. Compte tenu des conditions initiales : u(0) = E, la
solution s’écrit : u = E exp
−
t
R f C
. Or à t = T , u = E donc : R f =
T
C ln
E
E .
8.4 Étude expérimentale d’un circuit RC
1. On observe une charge du condensateur : une loi des mailles permet d’obtenir l’équation
différentielle : RC
du C
dt
+ u C = E dont la solution est, compte tenu des conditions initiales,
u C = E
1 − exp
−
t
RC
= E
1 − exp
−
t
τ
. La tension du condensateur tend vers E.
2. L’équation différentielle s’écrit maintenant : RC
du C
dt
+ u C = 0. La solution est : u C =
E exp
−
t
τ
. On en déduit : ln
E
u C
=
t
τ On obtient donc une droite de pente
1
τ
.
3. On obtient bien une droite comme l’annonce la théorie mais la pente vaut 0,02 au lieu de
0,01. L’écart est significatif.
t (s)
5
10
15
20
30
45
60
90
120 150
u C (V) 9,05 8,19 7,41 6,70 5,49 4,07 3,01 1,65 0,91 0,50
ln
E
u C
0,10 0,20 0,30 0,40 0,60 0,90 1,20 1,80 2,40 3,00
308