GÉNÉRALISATION : SYSTÈMES DU PREMIER ORDRE
5.5 Bilan de puissance
Multiplions la loi des mailles par i :
e × i = u L × i + u R × i soir ei = Li
di
dt
+ Ri
2
Or : Li
di
dt
=
d
dt
1
2
Li
2
. Ainsi :
ei =
d
dt
1
2
Li
2
+ Ri
2
.
On reconnaît :
• la puissance ei délivrée par le GBF,
• la dérivée de l’énergie E magné =
1
2
Li
2 emmagasinée dans la bobine d’inductance L,
• la puissance Ri 2 dissipée par effet Joule dans la résistance.
La puissance délivrée par le générateur se répartit entre une puissance magnétique stockée
par la bobine et une puissance perdue par effet Joule.
6 Généralisation : systèmes du premier ordre
Tous les systèmes du premier ordre sont décrits par une équation différentielle canonique :
τ
ds
dt
+ s = s ∞ ,
où s ∞ est imposé par l’entrée, τ est la constante de temps du système et s est la sortie
du système.
Le temps de réponse d’un système du premier ordre, c’est à dire la durée du régime
transitoire, ou temps de réponse à 99%, est de 4, 6 τ.
7 Régime permanent (PTSI)
Chaque circuit étudié dans ce chapitre a été modélisé par une équation différentielle, dont la
solution est la somme :
• d’une solution particulière, cherchée sous la même forme que l’entrée,
• et d’une solution homogène, solution de l’équation homogène.
Dans le cas d’un système du premier ordre, la solution homogène est systématiquement sous
la fome d’une exponentielle décroissante du temps, exp
−
t
τ
, où τ est la constante de temps
du système. La solution homogène est négligeable devant la solution particulière au bout
d’une durée de 4, 6τ. Ainsi :
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