CHAPITRE 8 – CIRCUIT LINÉAIRE DU PREMIER ORDRE
Remarque
On retrouve ce résultat avec les unités des lois électrocinétiques aux bornes d’une résistance et d’une bobine :
u R = Ri
donc V = Ω × A
u L = L
di
dt
donc V = H ×
A
s
implique
H
Ω
= s.
5.4 Solution de l’équation différentielle
Le montage n’est pas alimenté pour t < 0, e = 0 et i = 0 de même.
Pour t > 0, e = E 0 . Le montage est décrit par l’équation différentielle :
τ
di
dt
+ i =
E 0
R
.
Cette équation différentielle se résoud comme précédemment. Elle est la somme :
• d’une solution particulière i p , cherchée sous la même forme que l’entrée, ici une constante. Avec i p = constante,
di p
dt
= 0 et l’équation devient (τ × 0) + i p =
E 0
R
.
• d’une solution homogène i h (t), solution de l’équation homogène τ
di h
dt
+ i h = 0 :
i h (t) = μ exp
−
t
τ
.
La solution générale de l’équation différentielle du circuit est donc :
i (t) = i p (t) + i h (t) =
E 0
R
+ μ exp
−
t
τ
.
La constante μ est déterminée par la condition initiale. Elle est imposée par la continuité du
courant qui traverse la bobine d’inductance L.
L’énergie Li 2 /2 contenue dans la bobine est continue, elle ne peut pas varier instantanément. L’intensité i dans une bobine est donc, elle aussi, continue
Ainsi i
0
−
0
= i (0 + ). D’où : i (0) =
E 0
R
+ μ = 0 donc μ = −
E 0
R
.
Finalement :
i (t) =
E 0
R
1 − exp
−
t
τ
.
Cette solution est mathématiquement analogue à celle obtenue lors de l’étude de u C pour le
circuit RC.
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