CHAPITRE 8 – CIRCUIT LINÉAIRE DU PREMIER ORDRE
Comme e (t) est constante pour t > 0, sa dérivée est nulle. Ainsi, avec RC = τ, le système
obéit à l’équation différentielle homogène, c’est-à-dire sans second membre :
τ
du R
dt
+ u R = 0.
4.3 Portrait de phase
On trace
du R
dt
en fonction de u R , afin de prévoir l’évolution du montage avant toute résolution
de l’équation différentielle.
Avec y = du R /dt et x = u R , l’équation différentielle devient τy + x = 0. Le portrait de phase
est donc une droite d’équation :
y = −
x
τ
.
u R
du R
dt
−
E 0
τ
E 0
état final
état initial
Figure 8.10 – Portrait de phase.
Où est l’état initial ? La tension u R vaut, à l’origine, E 0 . On peut donc placer la point origine.
Dans quel sens est parcourue la courbe ? Tant que le système évolue, sa dérivée est différente
de zéro ; lorsque qu’elle atteint 0, le système ne varie plus. Ainsi le segment est parcouru de
la droite vers la gauche :
• u R décroît de E 0 à 0,
•
du R
dt
décroît de −
E 0
τ
à 0, qui marque l’état final.
Les systèmes pour lesquels le portrait de phase est calculable, décrit par une courbe dont
l’équation y (x) est analytiquement connue, demeurent des exceptions. Dans l’immense majorité des cas, on se contente de résolutions informatiques, comme dans le chapitre suivant.
!
4.4 Solution de l’équation différentielle
La solution générale de τ
du R
dt
+ u R = 0 est :
u R (t) = μ exp
−
t
τ
.
296
Comme e (t) est constante pour t > 0, sa dérivée est nulle. Ainsi, avec RC = τ, le système
obéit à l’équation différentielle homogène, c’est-à-dire sans second membre :
τ
du R
dt
+ u R = 0.
4.3 Portrait de phase
On trace
du R
dt
en fonction de u R , afin de prévoir l’évolution du montage avant toute résolution
de l’équation différentielle.
Avec y = du R /dt et x = u R , l’équation différentielle devient τy + x = 0. Le portrait de phase
est donc une droite d’équation :
y = −
x
τ
.
u R
du R
dt
−
E 0
τ
E 0
état final
état initial
Figure 8.10 – Portrait de phase.
Où est l’état initial ? La tension u R vaut, à l’origine, E 0 . On peut donc placer la point origine.
Dans quel sens est parcourue la courbe ? Tant que le système évolue, sa dérivée est différente
de zéro ; lorsque qu’elle atteint 0, le système ne varie plus. Ainsi le segment est parcouru de
la droite vers la gauche :
• u R décroît de E 0 à 0,
•
du R
dt
décroît de −
E 0
τ
à 0, qui marque l’état final.
Les systèmes pour lesquels le portrait de phase est calculable, décrit par une courbe dont
l’équation y (x) est analytiquement connue, demeurent des exceptions. Dans l’immense majorité des cas, on se contente de résolutions informatiques, comme dans le chapitre suivant.
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4.4 Solution de l’équation différentielle
La solution générale de τ
du R
dt
+ u R = 0 est :
u R (t) = μ exp
−
t
τ
.
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