MODÉLISATION
La solution particulière est cherchée sous la même forme que l’entrée, ici constante :
u C,p = constante. Alors
du C,p
dt
= 0 et l’équation différentielle devient (τ × 0) + u C,p = E 0 ,
donc u C,p (t) = E 0 .
La solution homogène est la solution de τ
du C,h
dt
+ u C,h = 0. On montre dans l’annexe mathématique qu’elle s’intègre en :
u C,h = μ exp
−
t
τ
,
où μ est une constante d’intégration inconnue à ce stade.
La solution de l’équation différentielle est donc, pour t > 0, la somme de la solution particulière et de la solution homogène :
u C (t) = u C,p (t) + u C,h (t) = E 0 + μ exp
−
t
τ
.
La constante d’intégration μ est calculée avec la condition initiale :
u C (0) = 0 = E 0 + μ
donc
μ = −E 0 .
Finalement, la solution du couple {équation différentielle, condition initiale} :
⎧
⎨
⎩
τ
du C
dt
+ u C = E 0
u C (0) = 0
est :
u C (t) = E 0
1 − exp
−
t
τ
.
La solution obtenue est homogène quant aux unités. E 0 est en volt, t et τ en seconde donc
leur rapport est sans unité. L’exponentielle opère sur un nombre sans dimension
−
t
τ
et
renvoie un nombre sans dimension, ainsi 1 − exp
−
t
τ
est sans dimension. Finalement u C a
la même unité que E 0 , le volt.
2.5 Tracé et identification de la constante de temps
Le graphe obtenu sur la figure 8.4 est caractéristique d’un système du premier ordre alimenté
par un échelon.
Que vaut la valeur finale ? Attendu que lim
t→∞
exp
−
t
τ
= 0 : lim
t→∞
u C (t) = E 0 .
On retrouve la solution particulière. Au bout d’un temps « suffisamment » long, à préciser
dans la suite, le système a oublié la condition initiale ; la sortie ne dépend plus que de la
valeur E 0 , imposée par l’entrée.
Quand le régime permanent, ou établi, débute-t-il ?
La valeur finale E 0 est atteinte à 1% près à la date θ telle que u C (θ ) = 0, 99 × E 0 :
u C (θ ) = 0, 99 × E 0 = E 0
1 − exp
−
θ
τ
donc θ = 4, 6 × τ.
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La solution particulière est cherchée sous la même forme que l’entrée, ici constante :
u C,p = constante. Alors
du C,p
dt
= 0 et l’équation différentielle devient (τ × 0) + u C,p = E 0 ,
donc u C,p (t) = E 0 .
La solution homogène est la solution de τ
du C,h
dt
+ u C,h = 0. On montre dans l’annexe mathématique qu’elle s’intègre en :
u C,h = μ exp
−
t
τ
,
où μ est une constante d’intégration inconnue à ce stade.
La solution de l’équation différentielle est donc, pour t > 0, la somme de la solution particulière et de la solution homogène :
u C (t) = u C,p (t) + u C,h (t) = E 0 + μ exp
−
t
τ
.
La constante d’intégration μ est calculée avec la condition initiale :
u C (0) = 0 = E 0 + μ
donc
μ = −E 0 .
Finalement, la solution du couple {équation différentielle, condition initiale} :
⎧
⎨
⎩
τ
du C
dt
+ u C = E 0
u C (0) = 0
est :
u C (t) = E 0
1 − exp
−
t
τ
.
La solution obtenue est homogène quant aux unités. E 0 est en volt, t et τ en seconde donc
leur rapport est sans unité. L’exponentielle opère sur un nombre sans dimension
−
t
τ
et
renvoie un nombre sans dimension, ainsi 1 − exp
−
t
τ
est sans dimension. Finalement u C a
la même unité que E 0 , le volt.
2.5 Tracé et identification de la constante de temps
Le graphe obtenu sur la figure 8.4 est caractéristique d’un système du premier ordre alimenté
par un échelon.
Que vaut la valeur finale ? Attendu que lim
t→∞
exp
−
t
τ
= 0 : lim
t→∞
u C (t) = E 0 .
On retrouve la solution particulière. Au bout d’un temps « suffisamment » long, à préciser
dans la suite, le système a oublié la condition initiale ; la sortie ne dépend plus que de la
valeur E 0 , imposée par l’entrée.
Quand le régime permanent, ou établi, débute-t-il ?
La valeur finale E 0 est atteinte à 1% près à la date θ telle que u C (θ ) = 0, 99 × E 0 :
u C (θ ) = 0, 99 × E 0 = E 0
1 − exp
−
θ
τ
donc θ = 4, 6 × τ.
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