CHAPITRE 8 – CIRCUIT LINÉAIRE DU PREMIER ORDRE
2.4 Résolution de l’équation différentielle
a) Position du problème
Pour t < 0, la tension délivrée par le GBF est nulle. Sans entrée, la sortie est aussi nulle :
u C (t < 0) = 0.
Cette solution vérifie bien l’équation différentielle : e = 0, u C = 0 et
du C
dt
= 0 (car u C est une
constante).
Pour t > 0, le GBF délivre un signal constant E 0 de 2 carreaux × 500 mV = 1 V dans
l’exemple expérimental de la section précédente :
e (t > 0) = E 0 = 1 V.
Il est courant d’alléger les notations en posant RC = τ. Le système est alors décrit par l’équation différentielle pour t > 0 :
τ
du C
dt
+ u C = E 0 .
On a une équation différentielle du premier ordre. Il suffit alors d’une seule condition initiale,
par exemple u C (0) pour déterminer complètement la solution. Elle est déterminée par la
continuité de l’énergie dans le condensateur.
L’énergie
1
2
Cu
2
C contenue dans le condensateur est continue, elle ne peut pas varier
instantanément. Il en résulte que la tension u C est, elle aussi, continue.
Ainsi u C (0 + ) = u C (0 − ) = 0. Finalement, on cherche la solution du couple {équation différentielle, condition initiale} :
⎧
⎨
⎩
τ
du C
dt
+ u C = E 0
u C (0) = 0.
b) Établissement de la solution
L’équation à résoudre est une équation différentielle du premier ordre, avec un second membre non nul. D’après l’annexe sur les outils mathématiques, la solution est la somme :
• d’une solution particulière, notée u C,p (indice p pour « particulière »), cherchée sous la
même forme que l’entrée E 0 ,
• et d’une solution homogène, notée u C,h (indice h pour « homogène »), solution de l’équation homogène :
τ
du C,h
dt
+ u C,h = 0.
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