MODÉLISATION
2.2 Équation différentielle sur u C (t)
La loi des mailles impose :
e = 0 + u C + u R .
Le GBF fait circuler un courant d’intensité i qui passe successivement à travers R et C. C’est
le même courant à travers chacun des trois dipôles. Ainsi u R = Ri et i = C
du C
dt
. La loi des
mailles devient alors :
e = u C + RC
du C
dt
.
À chaque instant, la tension u C (t) est reliée à sa dérivée et à la tension e imposée par le
GBF. Une telle relation est une équation différentielle d’ordre un, car elle contient u C et la
dérivée première de u C .
2.3 Unités et homogénéité de l’équation différentielle
e et u C sont des tensions en volts. L’unité de la grandeur X, dans le Système International, est
notée [X] :
[e] = V
et
[u C ] = V.
La dérivée
du C
dt
est en volts divisé par des secondes car u C est en volts et t en secondes :
du C
dt
= V.s
−1
On en déduit l’unité du produit RC en écrivant les unités de chaque terme dans l’équation
différentielle :
e = u C + RC
du C
dt
donc
V = V + [RC]
V
s
.
L’ensemble est homogène si [RC] = s.
Le produit RC est en secondes. Il représente la constante de temps du circuit.
Remarque
On retrouve ce résultat avec les unités des lois électrocinétiques aux bornes d’une résistance et d’un condensateur :
u R = Ri
donc V = Ω × A
i = C
du C
dt
donc A = F ×
V
s
implique Ω × F = s.
Le circuit RC présenté à la figure 8.3 est un système du premier ordre, de constante de
temps τ = RC.
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