Exercices Corrigés
CORRIGÉS
Δp x
Δx
>
1.10 −34
0, 42
= 2, 4,10 −34 kg·m·s −1 . Il en résulte que l’indétermination quantique
sur la vitesse vérifié : Δv x =
Δp x
m
2, 4.10
−34
1, 3.10 3 = 1, 8,10 −37 m·s −1 . L’inégalité d’Heisenberg
ne permettra pas à cet automobiliste de contester la contravention !
6.8 Fonction d’onde d’une particule dans un puits infini
1. La fonction d’onde doit s’annuler en x = 0 et en x = . Il faut et il suffit pour cela que
A sin(k) = 0. A ne doit pas être nulle (sinon il n’y a plus de fonction d’onde) donc sin(k) = 0
soit k = nπ où n est un entier. Les valeurs possibles pour le vecteur d’onde sont : k =
nπ
.
2. L’intégrale
ˆ
0
|ψ(x,t)|
2 dx représente la probabilité de trouver la particule quelque part
(n’importe où) entre x = 0 et x = . Comme il est certain que la particule se trouve dans cet
intervalle, cette probabilité est égale à 1.
Or : ψ(x,t) = A sin
nπx
et |ψ(x,t)| 2 = A 2 sin
2
nπx
. La condition de normalisation
s’écrit : A
2
ˆ
0
sin
2
nπx
dx = A
2
2
= 1. On en tire : A =
2
.
x
|ψ(x,t)| 2
2//
1//
/2
0
0
3. Les courbes sont représentées sur la figure : cas n = 1, en gris clair, cas n = 2 en gris foncé.
On constate que la probabilité de trouver la particule est maximale en x =
2
pour n = 1. Il
en est de même pour toutes les valeurs impaires de n. Pour n = 2 et toutes les valeurs paires
de n, la probabilité de présence est nulle au centre du puits. Dans le cas classique, la particule
fait des allers-retours à vitesse constante d’une extrémité à l’autre du puits, la probabilité de
la trouver en un point à un instant quelconque est indépendante de ce point (courbe en tireté
sur la figure).
6.9 Lame semi-réfléchissante, interféromètre de Mach-Zender
1. Un photon arrivant sur la lame est aléatoirement transmis ou réfléchi. La probabilité qu’il
soit réfléchi est R, la probabilité qu’il soit transmis est 1 − R. Elle ne sont pas égales a priori.
2.
a. Le faisceau (1) se réfléchit sur L 1 et sur L 2 , sa puissance est :P 1 = R 2 P 0 . Le faisceau
(2) est transmis par L 1 et par L 2 , sa puissance est :P 2 = T 2 P 0 . Le faisceau (3) se réfléchit
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Δp x
Δx
>
1.10 −34
0, 42
= 2, 4,10 −34 kg·m·s −1 . Il en résulte que l’indétermination quantique
sur la vitesse vérifié : Δv x =
Δp x
m
2, 4.10
−34
1, 3.10 3 = 1, 8,10 −37 m·s −1 . L’inégalité d’Heisenberg
ne permettra pas à cet automobiliste de contester la contravention !
6.8 Fonction d’onde d’une particule dans un puits infini
1. La fonction d’onde doit s’annuler en x = 0 et en x = . Il faut et il suffit pour cela que
A sin(k) = 0. A ne doit pas être nulle (sinon il n’y a plus de fonction d’onde) donc sin(k) = 0
soit k = nπ où n est un entier. Les valeurs possibles pour le vecteur d’onde sont : k =
nπ
.
2. L’intégrale
ˆ
0
|ψ(x,t)|
2 dx représente la probabilité de trouver la particule quelque part
(n’importe où) entre x = 0 et x = . Comme il est certain que la particule se trouve dans cet
intervalle, cette probabilité est égale à 1.
Or : ψ(x,t) = A sin
nπx
et |ψ(x,t)| 2 = A 2 sin
2
nπx
. La condition de normalisation
s’écrit : A
2
ˆ
0
sin
2
nπx
dx = A
2
2
= 1. On en tire : A =
2
.
x
|ψ(x,t)| 2
2//
1//
/2
0
0
3. Les courbes sont représentées sur la figure : cas n = 1, en gris clair, cas n = 2 en gris foncé.
On constate que la probabilité de trouver la particule est maximale en x =
2
pour n = 1. Il
en est de même pour toutes les valeurs impaires de n. Pour n = 2 et toutes les valeurs paires
de n, la probabilité de présence est nulle au centre du puits. Dans le cas classique, la particule
fait des allers-retours à vitesse constante d’une extrémité à l’autre du puits, la probabilité de
la trouver en un point à un instant quelconque est indépendante de ce point (courbe en tireté
sur la figure).
6.9 Lame semi-réfléchissante, interféromètre de Mach-Zender
1. Un photon arrivant sur la lame est aléatoirement transmis ou réfléchi. La probabilité qu’il
soit réfléchi est R, la probabilité qu’il soit transmis est 1 − R. Elle ne sont pas égales a priori.
2.
a. Le faisceau (1) se réfléchit sur L 1 et sur L 2 , sa puissance est :P 1 = R 2 P 0 . Le faisceau
(2) est transmis par L 1 et par L 2 , sa puissance est :P 2 = T 2 P 0 . Le faisceau (3) se réfléchit
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