Exercices Corrigés
CHAPITRE 6 – INTRODUCTION AU MONDE QUANTIQUE
2. Le flux d’énergie Φ provenant de l’étoile de magnitude m est donné par :
2, 5log 10
Φ S
Φ
= m − m S = 6, 5 + 26, 8 = 32, 3, soit Φ = 10
−
32,3
2,5 Φ S = 1, 2.10
−13
Φ S .
Le nombre de photons de l’étoile reçus par une surface S pendant Δt est : N = 1, 2.10 −13 N S .
Le nombre de photons de l’étoile traversant la pupille de surface S pupille en Δt est :
N pupille = N
S pupille
S
= N
π × (7.10 −3 ) 2 /4
1
= 3, 8.10
−5 N = 3, 8.10
−5
× 1, 2.10
−13 N S ∼ 5.10
3
.
6.5 Longueur d’onde Compton de l’électron
La relation définissant λ C est :
hc
λ C
= 2
p 2
2m
=
1
m e
h
λ C
2
, en utilisant la relation de de Broglie. On a donc : λ C =
h
m e c
=
6, 63.10 −34
9, 11.10 −31 × 3, 00.10 8 = 2, 43.10 −12 m = 2, 43 pm. C’est une
longueur d’onde de rayon X.
6.6 Vitesse de propagation de l’onde de de Broglie
1. k DB =
2π
λ DB
=
2π p
h
=
2πmv
h
.
2. L’énergie de la particule est E = E c =
1
2
mv 2 . En admettant qu’on peut appliquer la formule
de Planck, E = hν DB =
h
2π
ω DB , il vient alors : ω DB =
πmv
2
h
.
3. La vitesse de phase de l’onde de matière est donc : v =
ω DB
k DB
=
v
2
. Ce n’est pas la vitesse
de la particule. En fait c’est une autre vitesse associée à l’onde, la vitesse de groupe qui sera
vue en deuxième année, qui est égale à la vitesse de la particule.
6.7 Inégalité de Heisenberg (PTSI)
1. L’indétermination quantique de la position de la particule vérifie : Δx < 10 nm. D’après
l’inégalité de Heisenberg, l’indétermination quantique de la quantité de mouvement Δp x est
telle que : Δp x
Δx
>
1.10 −34
10.10 −9 = 1,10 −25 kg·m·s −1 . Puisque p x = mv x , l’indétermination
quantique Δv x sur sa vitesse vérifie : Δv x =
Δp x
m
1.10 −25
2, 4.10 −19 = 4,2.10 −7 m·s −1 . Si on veut
prendre une image de ce virus au microscope électronique avec une résolution au moins
égale à 10 nm il faut que le temps de pose soit au plus de l’ordre de grandeur de
10.10 −9
4, 2.10 −7 =
2, 4.10 −2 s.
2. L’indétermination quantique sur la position de la voiture est telle que : Δx <
150.10 3
3600
×
0, 01 = 0, 42 m. L’indétermination quantique sur sa quantité de mouvement vérifie donc :
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CHAPITRE 6 – INTRODUCTION AU MONDE QUANTIQUE
2. Le flux d’énergie Φ provenant de l’étoile de magnitude m est donné par :
2, 5log 10
Φ S
Φ
= m − m S = 6, 5 + 26, 8 = 32, 3, soit Φ = 10
−
32,3
2,5 Φ S = 1, 2.10
−13
Φ S .
Le nombre de photons de l’étoile reçus par une surface S pendant Δt est : N = 1, 2.10 −13 N S .
Le nombre de photons de l’étoile traversant la pupille de surface S pupille en Δt est :
N pupille = N
S pupille
S
= N
π × (7.10 −3 ) 2 /4
1
= 3, 8.10
−5 N = 3, 8.10
−5
× 1, 2.10
−13 N S ∼ 5.10
3
.
6.5 Longueur d’onde Compton de l’électron
La relation définissant λ C est :
hc
λ C
= 2
p 2
2m
=
1
m e
h
λ C
2
, en utilisant la relation de de Broglie. On a donc : λ C =
h
m e c
=
6, 63.10 −34
9, 11.10 −31 × 3, 00.10 8 = 2, 43.10 −12 m = 2, 43 pm. C’est une
longueur d’onde de rayon X.
6.6 Vitesse de propagation de l’onde de de Broglie
1. k DB =
2π
λ DB
=
2π p
h
=
2πmv
h
.
2. L’énergie de la particule est E = E c =
1
2
mv 2 . En admettant qu’on peut appliquer la formule
de Planck, E = hν DB =
h
2π
ω DB , il vient alors : ω DB =
πmv
2
h
.
3. La vitesse de phase de l’onde de matière est donc : v =
ω DB
k DB
=
v
2
. Ce n’est pas la vitesse
de la particule. En fait c’est une autre vitesse associée à l’onde, la vitesse de groupe qui sera
vue en deuxième année, qui est égale à la vitesse de la particule.
6.7 Inégalité de Heisenberg (PTSI)
1. L’indétermination quantique de la position de la particule vérifie : Δx < 10 nm. D’après
l’inégalité de Heisenberg, l’indétermination quantique de la quantité de mouvement Δp x est
telle que : Δp x
Δx
>
1.10 −34
10.10 −9 = 1,10 −25 kg·m·s −1 . Puisque p x = mv x , l’indétermination
quantique Δv x sur sa vitesse vérifie : Δv x =
Δp x
m
1.10 −25
2, 4.10 −19 = 4,2.10 −7 m·s −1 . Si on veut
prendre une image de ce virus au microscope électronique avec une résolution au moins
égale à 10 nm il faut que le temps de pose soit au plus de l’ordre de grandeur de
10.10 −9
4, 2.10 −7 =
2, 4.10 −2 s.
2. L’indétermination quantique sur la position de la voiture est telle que : Δx <
150.10 3
3600
×
0, 01 = 0, 42 m. L’indétermination quantique sur sa quantité de mouvement vérifie donc :
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