Exercices
APPROFONDIR
1. Exprimer le vecteur d’onde k DB de l’onde de de Broglie en fonction de m et v.
2. En admettant que la formule reliant l’énergie du photon à sa pulsation est aussi valable
pour la particule, trouver une expression ω DB en fonction de m et v.
3. En déduire la vitesse de propagation de l’onde de de Broglie.
6.7 Inégalité de Heisenberg (PTSI) ()
1. Quelle est l’indétermination quantique minimale sur la vitesse d’un adénovirus dont la
masse est égale à 2,4.10 −16 g et dont la position est connue à 10 nm près (soit un dixième de
sa taille) ?
2. Un radar autoroutier « flashe » une voiture de masse m = 1,3 t roulant à une vitesse de
150 km·h −1 . L’éclair du flash dure 0,01 s. Quelle est l’indétermination sur la position de la
voiture ? En déduire une minoration de l’indétermination quantique de la vitesse. Conclure.
6.8 Fonction d’onde d’une particule dans un puits infini ()
Une particule quantique est confinée dans la zone comprise entre les plans x = 0 et x = dans
un puits infini. On admet que sa fonction d’onde est de la forme :
ψ(x,t) = A sin(kx) exp(−iωt)
où A, k et ω sont des constantes réelles positives.
1. Déterminer les valeurs possibles de k en fonction de et d’un entier n positif quelconque.
2. La probabilité de trouver la particule dans l’intervalle [x, x + dx] est |ψ(x,t)| 2 dx. Justifier
la condition de normalisation
ˆ
0
|ψ(x,t)|
2 dx = 1. L’utiliser pour trouver l’expression de A
en fonction de .
3. Tracer |ψ(x,t)| 2 en fonction de x dans les cas n = 1 et n = 2. Commenter. Comparer aussi
au cas d’une particule classique.
APPROFONDIR
6.9 Lame semi-réfléchissante, interféromètre de Mach - Zender (
On considère une lame semi-réfléchissante non équilibrée qui divise un faisceau incident de
puissance P en un faisceau réfléchi de puissance P réfléchi = RP et un faisceau transmis de
puissance P transmis = T P avec R + T = 1.
1. Traduire ces renseignements en termes de probabilité de réflexion et de transmission du
photon.
2. On réalise un interféromètre de Mach-Zender avec deux lames semi-réfléchissantes de ce
type. La puissance du faisceau entrant dans l’interféromètre est P 0 .
231
APPROFONDIR
1. Exprimer le vecteur d’onde k DB de l’onde de de Broglie en fonction de m et v.
2. En admettant que la formule reliant l’énergie du photon à sa pulsation est aussi valable
pour la particule, trouver une expression ω DB en fonction de m et v.
3. En déduire la vitesse de propagation de l’onde de de Broglie.
6.7 Inégalité de Heisenberg (PTSI) ()
1. Quelle est l’indétermination quantique minimale sur la vitesse d’un adénovirus dont la
masse est égale à 2,4.10 −16 g et dont la position est connue à 10 nm près (soit un dixième de
sa taille) ?
2. Un radar autoroutier « flashe » une voiture de masse m = 1,3 t roulant à une vitesse de
150 km·h −1 . L’éclair du flash dure 0,01 s. Quelle est l’indétermination sur la position de la
voiture ? En déduire une minoration de l’indétermination quantique de la vitesse. Conclure.
6.8 Fonction d’onde d’une particule dans un puits infini ()
Une particule quantique est confinée dans la zone comprise entre les plans x = 0 et x = dans
un puits infini. On admet que sa fonction d’onde est de la forme :
ψ(x,t) = A sin(kx) exp(−iωt)
où A, k et ω sont des constantes réelles positives.
1. Déterminer les valeurs possibles de k en fonction de et d’un entier n positif quelconque.
2. La probabilité de trouver la particule dans l’intervalle [x, x + dx] est |ψ(x,t)| 2 dx. Justifier
la condition de normalisation
ˆ
0
|ψ(x,t)|
2 dx = 1. L’utiliser pour trouver l’expression de A
en fonction de .
3. Tracer |ψ(x,t)| 2 en fonction de x dans les cas n = 1 et n = 2. Commenter. Comparer aussi
au cas d’une particule classique.
APPROFONDIR
6.9 Lame semi-réfléchissante, interféromètre de Mach - Zender (
On considère une lame semi-réfléchissante non équilibrée qui divise un faisceau incident de
puissance P en un faisceau réfléchi de puissance P réfléchi = RP et un faisceau transmis de
puissance P transmis = T P avec R + T = 1.
1. Traduire ces renseignements en termes de probabilité de réflexion et de transmission du
photon.
2. On réalise un interféromètre de Mach-Zender avec deux lames semi-réfléchissantes de ce
type. La puissance du faisceau entrant dans l’interféromètre est P 0 .
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