CHAPITRE 6 – INTRODUCTION AU MONDE QUANTIQUE
5 Quantification de l’énergie d’une particule confinée
5.1 Notion de quantification
Un des résultats les plus remarquables de la mécanique quantique est la quantification de
certaines grandeurs physiques.
Un grandeur physique est quantifiée lorsqu’elle ne peut prendre qu’une suite de valeurs
discrètes. On parle de quantification.
L’énergie mécanique d’une particule confinée dans une région limitée de l’espace est quantifiée. Le cas le plus simple est celui d’une particule dans un puits infini à une dimension.
5.2 Particule dans un puits infini à 1 dimension
a) Puits infini à 1 dimension
0
O
E p (x)
x
x
Figure 6.15 – Modèle du puits infini à 1
dimension.
Le puits infini à une dimension est le nom
donné au modèle théorique d’énergie potentielle suivant :
E p (x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
∞ si x < 0,
0 si 0 < x < <,
∞ si x > >.
Concrètement cela décrit une particule se déplaçant librement entre entre deux « murs » infranchissables perpendiculaires à (Ox) et distants de (voir figure 6.15). La particule est
confinée dans l’intervalle 0 < x < <.
b) Longueurs d’onde possibles pour la particule
Quelles sont les longueurs d’ondes possibles pour une particule placée dans le puits infini ?
L’onde de matière est limitée à l’intervalle 0 < x < <. On a vu dans un chapitre précédent
qu’une onde dans un espace confiné est nécessairement une onde stationnaire. Il en est obligatoirement de même pour l’onde de de Broglie associée à la particule. L’onde associée à la
particule est une onde stationnaire.
D’autre part, la probabilité de détecter la particule en un point est proportionnelle au carré de
l’amplitude de la fonction d’onde en ce point. On sait que cette probabilité est nulle pour x < 0
et pour x > >. Par continuité, elle est aussi nulle pour x = 0 et pour x = . Ainsi l’amplitude
de l’onde associée à la particule s’annule en x = 0 et x = . L’onde associée à la particule
présente un nœud de vibration en x = 0 et en x = .
L’étude des ondes a montré que la distance entre deux nœuds de vibration consécutifs est
égale à la moitié de la longueur d’onde. Ainsi la largeur du puits est nécessairement un
multiple entier de la demi-longueur d’onde. Ceci s’écrit : = n
λ DB
2
, où n est un entier.
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5 Quantification de l’énergie d’une particule confinée
5.1 Notion de quantification
Un des résultats les plus remarquables de la mécanique quantique est la quantification de
certaines grandeurs physiques.
Un grandeur physique est quantifiée lorsqu’elle ne peut prendre qu’une suite de valeurs
discrètes. On parle de quantification.
L’énergie mécanique d’une particule confinée dans une région limitée de l’espace est quantifiée. Le cas le plus simple est celui d’une particule dans un puits infini à une dimension.
5.2 Particule dans un puits infini à 1 dimension
a) Puits infini à 1 dimension
0
O
E p (x)
x
x
Figure 6.15 – Modèle du puits infini à 1
dimension.
Le puits infini à une dimension est le nom
donné au modèle théorique d’énergie potentielle suivant :
E p (x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
∞ si x < 0,
0 si 0 < x < <,
∞ si x > >.
Concrètement cela décrit une particule se déplaçant librement entre entre deux « murs » infranchissables perpendiculaires à (Ox) et distants de (voir figure 6.15). La particule est
confinée dans l’intervalle 0 < x < <.
b) Longueurs d’onde possibles pour la particule
Quelles sont les longueurs d’ondes possibles pour une particule placée dans le puits infini ?
L’onde de matière est limitée à l’intervalle 0 < x < <. On a vu dans un chapitre précédent
qu’une onde dans un espace confiné est nécessairement une onde stationnaire. Il en est obligatoirement de même pour l’onde de de Broglie associée à la particule. L’onde associée à la
particule est une onde stationnaire.
D’autre part, la probabilité de détecter la particule en un point est proportionnelle au carré de
l’amplitude de la fonction d’onde en ce point. On sait que cette probabilité est nulle pour x < 0
et pour x > >. Par continuité, elle est aussi nulle pour x = 0 et pour x = . Ainsi l’amplitude
de l’onde associée à la particule s’annule en x = 0 et x = . L’onde associée à la particule
présente un nœud de vibration en x = 0 et en x = .
L’étude des ondes a montré que la distance entre deux nœuds de vibration consécutifs est
égale à la moitié de la longueur d’onde. Ainsi la largeur du puits est nécessairement un
multiple entier de la demi-longueur d’onde. Ceci s’écrit : = n
λ DB
2
, où n est un entier.
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