L’INÉGALITÉ DE HEISENBERG (PTSI)
Si l’on fait la mesure de sa quantité de mouvement p x selon (Ox) immédiatement après la
fente, la dispersion des résultats possibles est due au phénomène de diffraction. Les valeurs
extrêmes de p x correspondent aux cas représentés sur la figure où la particule part dans la
direction faisant l’angle θ ou −θ avec l’axe (Oz). Les valeurs de p x possibles sont donc
comprises entre −p sin θ et p sin θ . Ainsi, en utilisant λ DB =
h
p
on trouve :
Δp x ∼ p sin θ = p
λ DB
a
=
h
a
.
Il vient donc :
Δx Δp x ∼ h.
Ainsi, en localisant la particule avec précision à l’aide d’une fente étroite, on introduit une
dispersion sur sa quantité de mouvement.
4.3 L’indétermination position-quantité de mouvement
Le résultat précédent est un cas particulier du principe d’indétermination de Heisenberg
qui est aussi connu sous le nom, moins approprié, de principe d’incertitude de Heisenberg.
Principe d’indétermination de Heisenberg :
Les mesures de position x et de quantité de mouvement p x selon un même axe (Ox)
sont affectées d’indéterminations quantiques Δx et Δp x dont le produit est au moins de
l’ordre de grandeur de la constante de Planck réduite =
h
2π
, ce que l’on écrit :
Δx Δp x .
La valeur précise de la constante de Planck réduite est = 1,056 180.10 −34 J·s. Il
est facile de retenir que : 1.10 −34 J.s.
✎
Cette inégalité représente une contrainte fondamentale. Si la position d’une particule est
connue avec une grande précision, alors une mesure de la quantité de mouvement sera affectée d’une grande indétermination. C’est par exemple le cas pour une particule enfermée
dans une « boîte » de petites dimensions. De même, si l’on a préparé la particule de manière
à bien connaître sa vitesse, alors on ne peut avoir que très peu d’information sur sa position.
Ainsi, l’inégalité de Heisenberg rend caduque, à l’échelle microscopique, la notion de trajectoire (pour laquelle position et vitesse sont parfaitement connues) sur laquelle la mécanique
classique est fondée. En revanche pour un système macroscopique, la petitesse de la valeur
de fait que la limitation posée par l’inégalité de Heisenberg n’est pas perceptible, donc la
mécanique classique s’applique (on verra un exemple d’application numérique au
225
Si l’on fait la mesure de sa quantité de mouvement p x selon (Ox) immédiatement après la
fente, la dispersion des résultats possibles est due au phénomène de diffraction. Les valeurs
extrêmes de p x correspondent aux cas représentés sur la figure où la particule part dans la
direction faisant l’angle θ ou −θ avec l’axe (Oz). Les valeurs de p x possibles sont donc
comprises entre −p sin θ et p sin θ . Ainsi, en utilisant λ DB =
h
p
on trouve :
Δp x ∼ p sin θ = p
λ DB
a
=
h
a
.
Il vient donc :
Δx Δp x ∼ h.
Ainsi, en localisant la particule avec précision à l’aide d’une fente étroite, on introduit une
dispersion sur sa quantité de mouvement.
4.3 L’indétermination position-quantité de mouvement
Le résultat précédent est un cas particulier du principe d’indétermination de Heisenberg
qui est aussi connu sous le nom, moins approprié, de principe d’incertitude de Heisenberg.
Principe d’indétermination de Heisenberg :
Les mesures de position x et de quantité de mouvement p x selon un même axe (Ox)
sont affectées d’indéterminations quantiques Δx et Δp x dont le produit est au moins de
l’ordre de grandeur de la constante de Planck réduite =
h
2π
, ce que l’on écrit :
Δx Δp x .
La valeur précise de la constante de Planck réduite est = 1,056 180.10 −34 J·s. Il
est facile de retenir que : 1.10 −34 J.s.
✎
Cette inégalité représente une contrainte fondamentale. Si la position d’une particule est
connue avec une grande précision, alors une mesure de la quantité de mouvement sera affectée d’une grande indétermination. C’est par exemple le cas pour une particule enfermée
dans une « boîte » de petites dimensions. De même, si l’on a préparé la particule de manière
à bien connaître sa vitesse, alors on ne peut avoir que très peu d’information sur sa position.
Ainsi, l’inégalité de Heisenberg rend caduque, à l’échelle microscopique, la notion de trajectoire (pour laquelle position et vitesse sont parfaitement connues) sur laquelle la mécanique
classique est fondée. En revanche pour un système macroscopique, la petitesse de la valeur
de fait que la limitation posée par l’inégalité de Heisenberg n’est pas perceptible, donc la
mécanique classique s’applique (on verra un exemple d’application numérique au
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