CHAPITRE 6 – INTRODUCTION AU MONDE QUANTIQUE
4 L’inégalité de Heisenberg (PTSI)
4.1 Indétermination quantique
Dans les expériences présentées ci-dessus, on a vu que des particules quantiques arrivent en
des points aléatoires du plan de détection. Ainsi, quand on mesure la coordonnée x ou y d’une
particule dans le plan de détection, on obtient un résultat aléatoire.
Il s’agit d’une propriété générale des système quantiques :
La mesure d’une grandeur X sur un système quantique donne a priori un résultat aléatoire.
Soit X la moyenne des résultats possibles pondérés par leur probabilité. On définit en mathématiques l’écart quadratique moyen :
ΔX =
(X − −X)
2 =
X 2 − −X 2 .
L’écart quadratique moyen ΔX nous renseigne sur la dispersion des résultats possibles
pour la mesure de la grandeur X. On l’appelle indétermination quantique de X.
Remarque
Il ne faut pas confondre l’indétermination quantique ΔX avec l’incertitude sur la mesure. ΔX est totalement indépendante de l’instrument de mesure et du protocole suivi.
Par exemple sur le document de la figure 6.9, l’incertitude sur la coordonnée x est
donnée par la taille d’un point correspondant à un électron, alors que l’indétermination
quantique Δx est au moins aussi grande que la largeur du champ visible.
4.2 Exemple : diffraction d’une particule par une fente
On considère une particule de quantité de mouvement − → p = p − → u z arrivant orthogonalement sur
une fente de largeur a parallèle à (Oy) (voir figure 6.14). L’onde associée à la particule est
diffractée par la fente exactement comme une onde lumineuse l’est.
θ
θ
− → p
a
z
x
Figure 6.14 – Diffraction d’une particule par
une fente.
Le demi-angle d’ouverture θ du faisceau diffracté est donné par :
sin θ =
λ DB
a
,
où λ DB est la longueur d’onde de de Broglie de
la particule. Si l’on fait une mesure de la coordonnée x de la particule immédiatement après la
fente, le résultat de la mesure est compris entre
−
a
2
et
a
2
donc l’indétermination quantique est
du même ordre de grandeur que a :
Δx ∼ a.
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4 L’inégalité de Heisenberg (PTSI)
4.1 Indétermination quantique
Dans les expériences présentées ci-dessus, on a vu que des particules quantiques arrivent en
des points aléatoires du plan de détection. Ainsi, quand on mesure la coordonnée x ou y d’une
particule dans le plan de détection, on obtient un résultat aléatoire.
Il s’agit d’une propriété générale des système quantiques :
La mesure d’une grandeur X sur un système quantique donne a priori un résultat aléatoire.
Soit X la moyenne des résultats possibles pondérés par leur probabilité. On définit en mathématiques l’écart quadratique moyen :
ΔX =
(X − −X)
2 =
X 2 − −X 2 .
L’écart quadratique moyen ΔX nous renseigne sur la dispersion des résultats possibles
pour la mesure de la grandeur X. On l’appelle indétermination quantique de X.
Remarque
Il ne faut pas confondre l’indétermination quantique ΔX avec l’incertitude sur la mesure. ΔX est totalement indépendante de l’instrument de mesure et du protocole suivi.
Par exemple sur le document de la figure 6.9, l’incertitude sur la coordonnée x est
donnée par la taille d’un point correspondant à un électron, alors que l’indétermination
quantique Δx est au moins aussi grande que la largeur du champ visible.
4.2 Exemple : diffraction d’une particule par une fente
On considère une particule de quantité de mouvement − → p = p − → u z arrivant orthogonalement sur
une fente de largeur a parallèle à (Oy) (voir figure 6.14). L’onde associée à la particule est
diffractée par la fente exactement comme une onde lumineuse l’est.
θ
θ
− → p
a
z
x
Figure 6.14 – Diffraction d’une particule par
une fente.
Le demi-angle d’ouverture θ du faisceau diffracté est donné par :
sin θ =
λ DB
a
,
où λ DB est la longueur d’onde de de Broglie de
la particule. Si l’on fait une mesure de la coordonnée x de la particule immédiatement après la
fente, le résultat de la mesure est compris entre
−
a
2
et
a
2
donc l’indétermination quantique est
du même ordre de grandeur que a :
Δx ∼ a.
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