Exercices Corrigés
CHAPITRE 5 – OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
Ainsi, dans les conditions de Gauss, tous les rayons émergents semblent avoir été réfléchis par
un une surface réfléchissante plane située à
e
n
derrière la face avant. Le miroir domestique a
donc les propriétés de stigmatisme et d’aplanétisme approchées dans les conditions de Gauss.
5.3 Détection de pluie sur un pare-brise
1. Il peut y avoir réflexion totale en I, car le rayon passe du verre à l’air qui est moins réfringent. On calcule l’angle de réflexion limite en I : R lim,v = arcsin
1
n v
= 41, 8 ◦ (on a pris 1 pour
l’indice de l’air). Il y a réflexion totale en I si i > R lim,v , ce qui est le cas pour i = 60 ◦ . Le flux
lumineux est donc entièrement réfléchi.
Pour trouver la position du détecteur, on applique la loi de réflexion en I : le rayon est réfléchi
symétriquement par rapport à la normale : la distance entre l’émetteur E et le détecteur D doit
donc être : ED = 2e tan i = 1,7 cm.
2. Les deux dioptres sont maintenant verreeau et eau-air. Dans les deux cas, il peut y avoir
réflexion totale. On calcule les deux angles de
réflexion totale :
• Pour le dioptre verre-eau :
n v sin R lim,1 = n e sin π/2 soit R lim,1 = 62, 5 ◦ .
• Pour le dioptre eau-air :
n e sin R lim,2 = sin π/2 soit R lim,2 = 48, 75
◦ .
L’angle i est inférieur à R lim,1 , il y a donc
réfraction sur le premier dioptre. On calcule
l’angle r après réfraction : n v sin i = n e sin r
donc r = 77, 6 ◦ .
i
i
r
r
r
r
E
D
L’angle r est aussi l’angle d’incidence sur le deuxième dioptre, il y a donc réflexion totale sur
ce dioptre puisque r > R lim,2 . On obtient la marche du rayon lumineux représenté sur la figure.
On constate que le rayon lumineux ne tombe plus sur le détecteur mais à distance 2e
tan r =
0,9 cm de celui-ci. Un système de commande relié au détecteur peut alors déclencher les
essuie-glaces.
5.4 Erreur sur le positionnement d’un objet
L’observateur a l’impression que l’objet est
dans la direction du rayon qu’il reçoit. On voit
sur la figure que le rayon provenant de l’objet
s’est éloigné de la normale au dioptre (air-eau)
puisque n > 1. On note A la position réelle de
l’objet et B sa position apparente.
• Dans le triangle TOB :
d = OB = (h + t) tani d’où i = 16, 9 ◦ .
• Dans le triangle TO I : O I = (h−e+t) tan i.
• Dans le triangle II
A : AI
= e tan r.
• Loi de Descartes en I : sini = n sin r.
I
I
O
O
A
i
i
r
h
d
e
t
194
CHAPITRE 5 – OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
Ainsi, dans les conditions de Gauss, tous les rayons émergents semblent avoir été réfléchis par
un une surface réfléchissante plane située à
e
n
derrière la face avant. Le miroir domestique a
donc les propriétés de stigmatisme et d’aplanétisme approchées dans les conditions de Gauss.
5.3 Détection de pluie sur un pare-brise
1. Il peut y avoir réflexion totale en I, car le rayon passe du verre à l’air qui est moins réfringent. On calcule l’angle de réflexion limite en I : R lim,v = arcsin
1
n v
= 41, 8 ◦ (on a pris 1 pour
l’indice de l’air). Il y a réflexion totale en I si i > R lim,v , ce qui est le cas pour i = 60 ◦ . Le flux
lumineux est donc entièrement réfléchi.
Pour trouver la position du détecteur, on applique la loi de réflexion en I : le rayon est réfléchi
symétriquement par rapport à la normale : la distance entre l’émetteur E et le détecteur D doit
donc être : ED = 2e tan i = 1,7 cm.
2. Les deux dioptres sont maintenant verreeau et eau-air. Dans les deux cas, il peut y avoir
réflexion totale. On calcule les deux angles de
réflexion totale :
• Pour le dioptre verre-eau :
n v sin R lim,1 = n e sin π/2 soit R lim,1 = 62, 5 ◦ .
• Pour le dioptre eau-air :
n e sin R lim,2 = sin π/2 soit R lim,2 = 48, 75
◦ .
L’angle i est inférieur à R lim,1 , il y a donc
réfraction sur le premier dioptre. On calcule
l’angle r après réfraction : n v sin i = n e sin r
donc r = 77, 6 ◦ .
i
i
r
r
r
r
E
D
L’angle r est aussi l’angle d’incidence sur le deuxième dioptre, il y a donc réflexion totale sur
ce dioptre puisque r > R lim,2 . On obtient la marche du rayon lumineux représenté sur la figure.
On constate que le rayon lumineux ne tombe plus sur le détecteur mais à distance 2e
tan r =
0,9 cm de celui-ci. Un système de commande relié au détecteur peut alors déclencher les
essuie-glaces.
5.4 Erreur sur le positionnement d’un objet
L’observateur a l’impression que l’objet est
dans la direction du rayon qu’il reçoit. On voit
sur la figure que le rayon provenant de l’objet
s’est éloigné de la normale au dioptre (air-eau)
puisque n > 1. On note A la position réelle de
l’objet et B sa position apparente.
• Dans le triangle TOB :
d = OB = (h + t) tani d’où i = 16, 9 ◦ .
• Dans le triangle TO I : O I = (h−e+t) tan i.
• Dans le triangle II
A : AI
= e tan r.
• Loi de Descartes en I : sini = n sin r.
I
I
O
O
A
i
i
r
h
d
e
t
194