CHAPITRE 5 – OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
et la formule du grandissement :
γ =
A B
AB
=
OA
OA
.
(5.7)
5.4 Complément : démonstration des formules de conjugaison
On va établir les formules de conjugaison à partir de la figure 5.26.
On peut exprimer le grandissement en faisant intervenir le point H projeté de B sur la lentille
et le point H
projeté de B
sur la lentille (voir figure 5.26). Il vient alors, en utilisant le
théorème de Thalès dans les triangles ABF et OH F :
γ =
A B
AB
=
OH
AB
=
FO
FA
= −
f
FA
.
De même, en utilisant le théorème de Thalès dans les triangles HOF et F A B :
γ =
A B
AB
=
A B
OH
=
F A
F O
= −
F A
f .
On vient de trouver les relations de grandissement de Newton. En combinant ces deux relations on obtient la relation de position.
F A × FA = f f
.
Revenant à l’observation de la figure 5.26, on peut écrire le grandissement d’une autre manière, en utilisant le théorème de Thalès dans les triangles OAB et OA B :
γ =
A B
AB
=
OA
OA
,
qui est la formule du grandissement de Descartes. Enfin, en modifiant la formule de position
de Newton grâce à la loi de Chasles pour faire apparaître le centre O on trouve :
(F O + OA )(FO + OA) = − f
2
.
En remplaçant F O par − f et FO par − f = f et en développant, les termes en f
2 se
simplifient et on obtient :
f
OA − f
OA + OA OA = 0.
Il ne reste plus qu’à diviser l’expression par f OA OA , pour trouver la relation de position de
Descartes.
6 Applications des lentilles
6.1 Projection d’une image
a) Position du problème
On veut projeter l’image d’un objet rétroéclairé sur un écran (diapositive par exemple). On
souhaite avoir une image agrandie le plus possible, aussi lumineuse et nette que possible,
avec une distance D entre l’objet et l’écran qui est imposée par les conditions extérieures.
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