Exercices Corrigés
CORRIGÉS
3.12 Tube de Kundt
1. p HP (x,t) = A 0 cos(2π f t + kx) puisque cette onde se propage dans le sens négatif de (Ox).
2. p r (x,t) = rA 0 cos(2π f t − kx + ϕ).
3. Le déphasage des deux ondes à l’abscisse x est : Δϕ(x) = ϕ − 2kx. D’après la formule des
interférences à deux ondes, l’amplitude en x de l’onde résultante est :
A(x) =
A
2
0 + r
2 A
2
0 + 2rA
2
0 cos(Δϕ(x))
1
2
= A 0
1 + r
2
+ 2r cos(ϕ − 2kx)
1
2
.
4.
a. α =
V max
V min
=
A max
A min
=
1 + r
1 − r
. Cette relation s’inverse en : r =
α − 1
α + 1
.
b. Le premier minimum correspond à : 2kx − ϕ = π, soit : ϕ = π
4x 1
λ
− 1
.
c. L’application numérique donne :
f en Hz
460
750
845
1016
1042
1185
1400
r
0,639
0,662
0,669
0,670
0,678
0,663
0,669
φ
−0, 64π −0, 71π −0, 74π −0, 76π −0, 78π −0, 81π −0, 85π
Le module du coefficient de réflexion dépend peu de la fréquence alors que sa phase augmente
en valeur absolue avec la fréquence.
3.13 Ondes le long d’une corde de Melde
1. L’onde s 0 se propage dans le sens de (Ox) avec la célérité c donc :
s 0 (x,t) = s 0
0,t −
x
c
= a 0 cos
ω
t −
x
c
= a 0 cos(ωt − kx).
2. L’onde s 1 provient de l’onde s 0 par réflexion sur la poulie donc : s 1 (L,t) = −rs 0 (L,t) =
−ra 0 cos(ωt − kL). De plus, s 1 se propage dans le sens inverse de (Ox) avec la célérité c,
donc :
s 1 (x,t) = s 1
L,t −
L − x
c
= −ra 0 cos
ω
t −
L − x
c
− kL
= −ra 0 cos(ωt + kx − 2kL).
On trouve de la même manière : s 2 (,t) = −r s 1 (0,t) = rr a 0 cos(ωt − 2kL), puis :
s 2 (x,t) = s 2
L,t −
x
c
= rr
a 0 cos(ωt − kx − 2kL).
On en déduit : s 3 (,t) = −rs 2 (L,t) = −r 2 r a 0 cos(ωt − 3kL), puis :
s 3 (x,t) = s 3
L,t −
L − x
c
= −r
2 r
a 0 cos(ωt + kx − 4kL).
3. La phase initiale de s 0 au point d’abscisse x est égale à −kx ; la phase initiale de s 2 au
même point est égale à −kx − 2kL. Les deux ondes sont en phase en tout point à condition
que :
2kL = 2nπ, où n est un entier.
Si cette condition est vérifiée, les ondes s 1 et s 3 sont elles aussi en phase en tout point.
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