Exercices Corrigés
CORRIGÉS
en utilisant la formule de trigonométrie de transformation d’une somme de cosinus en produit
(voir annexe mathématique). Il s’agit d’un onde stationnaire, en accord avec les observations
expérimentales.
d. Les points d’amplitude minimale sont les nœuds dont on sait qu’ils sont distants d’une
demi-longueur d’onde. Ainsi : e =
λ
2
=
c
2 f
, donc : c = 2e f = 2 × 13, 8.10 −2 × 1250 =
345 m·s −1 .
2.
a. L’amplitude de l’onde émise par un haut-parleur n’est pas constante, mais elle diminue lorsqu’on s’en éloigne. L’approximation d’une amplitude constante et identique pour les
deux haut-parleurs n’est plus applicable quand on s’approche d’un des deux haut-parleurs.
b. Les ondes sont en phase quand elles partent des haut-parleurs. Pour parvenir au point
d’abscisse x, la première onde met le temps
x
c
et la deuxième le temps
d − x
c
. Elles ont donc
un décalage temporel en ce point, la deuxième étant en avance par rapport à la première
de τ =
x
c
−
d − x
c
=
2x − d
c
. La deuxième onde présente donc par rapport à la première le
déphasage :
Δϕ(x) = 2π f τ =
2π
λ
(2x − d).
c. D’après la formule des interférences à deux ondes, l’amplitude de l’onde résultante est :
A(x) =
A
2
1 + A
2
2 + 2A 1 A 2 cos (Δϕ(x))
1
2
.
d. Près de HP, A 1 A 2 . Donc :
A(x) = A 1
1 + 2
A 2
A 1
cos (Δϕ(x)) +
A 2
2
A 2
1
1
2
A 1
1 +
A 2
A 1
cos (Δϕ(x))
,
en faisant un développement limité du premier ordre en
A 2
A 1
1.
Dans un calcul au premier ordre, les termes du deuxième ordre, comme le terme
A 2
2
A 2
1
ci-dessus, peuvent être purement et simplement supprimés.
✎
e. Le vecteur de Fresnel du signal somme a presque la direction du vecteur de Fresnel
associé à p 1 , donc le signal somme a pratiquement la phase initiale de p 1 qui décroît avec x.
3.10 Écoute musicale et interférences
1.
a. L’onde réfléchie parcourt en plus deux fois la distance D entre l’auditeur et le mur
donc : τ =
2D
c
.
b. C’est la seule cause de décalage entre les deux ondes puisque la réflexion sur le mur
ne s’accompagne d’aucun déphasage. L’onde réfléchie présente donc par rapport à l’onde
directe le déphasage : Δϕ = 2π f τ =
4π f D
c
.
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CORRIGÉS
en utilisant la formule de trigonométrie de transformation d’une somme de cosinus en produit
(voir annexe mathématique). Il s’agit d’un onde stationnaire, en accord avec les observations
expérimentales.
d. Les points d’amplitude minimale sont les nœuds dont on sait qu’ils sont distants d’une
demi-longueur d’onde. Ainsi : e =
λ
2
=
c
2 f
, donc : c = 2e f = 2 × 13, 8.10 −2 × 1250 =
345 m·s −1 .
2.
a. L’amplitude de l’onde émise par un haut-parleur n’est pas constante, mais elle diminue lorsqu’on s’en éloigne. L’approximation d’une amplitude constante et identique pour les
deux haut-parleurs n’est plus applicable quand on s’approche d’un des deux haut-parleurs.
b. Les ondes sont en phase quand elles partent des haut-parleurs. Pour parvenir au point
d’abscisse x, la première onde met le temps
x
c
et la deuxième le temps
d − x
c
. Elles ont donc
un décalage temporel en ce point, la deuxième étant en avance par rapport à la première
de τ =
x
c
−
d − x
c
=
2x − d
c
. La deuxième onde présente donc par rapport à la première le
déphasage :
Δϕ(x) = 2π f τ =
2π
λ
(2x − d).
c. D’après la formule des interférences à deux ondes, l’amplitude de l’onde résultante est :
A(x) =
A
2
1 + A
2
2 + 2A 1 A 2 cos (Δϕ(x))
1
2
.
d. Près de HP, A 1 A 2 . Donc :
A(x) = A 1
1 + 2
A 2
A 1
cos (Δϕ(x)) +
A 2
2
A 2
1
1
2
A 1
1 +
A 2
A 1
cos (Δϕ(x))
,
en faisant un développement limité du premier ordre en
A 2
A 1
1.
Dans un calcul au premier ordre, les termes du deuxième ordre, comme le terme
A 2
2
A 2
1
ci-dessus, peuvent être purement et simplement supprimés.
✎
e. Le vecteur de Fresnel du signal somme a presque la direction du vecteur de Fresnel
associé à p 1 , donc le signal somme a pratiquement la phase initiale de p 1 qui décroît avec x.
3.10 Écoute musicale et interférences
1.
a. L’onde réfléchie parcourt en plus deux fois la distance D entre l’auditeur et le mur
donc : τ =
2D
c
.
b. C’est la seule cause de décalage entre les deux ondes puisque la réflexion sur le mur
ne s’accompagne d’aucun déphasage. L’onde réfléchie présente donc par rapport à l’onde
directe le déphasage : Δϕ = 2π f τ =
4π f D
c
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