Exercices Corrigés
CHAPITRE 3 – SUPERPOSITIONS DE SIGNAUX
où n est un entier. Le troisième mode propre (n = 2) est représenté sur la figure ci-dessus à
droite.
2. λ =
c
f Do 0
=
331
32
= 10,3 m. Pour produire cette note avec un tuyau de longueur minimale,
il faut prendre un tuyau fermé à une extrémité et ouvert à l’autre tel que f
1 = f Do 0 . Ce tuyau
a une longueur L =
λ
4
= 2,6 m.
3.
a. Les modes propres d’un tuyau ouvert à une extrémité et fermé à l’autre sont les multiples impairs de la fréquence du mode fondamental. Quand l’air du tuyau vibre, sa vibration
est une superposition linéaire des différents modes propres. Elle produit un son dont le spectre
contient les fréquences de ces modes propres, c’est-à-dire un fondamental et seulement des
harmoniques d’ordre impair.
b. Le trou impose un nœud de pression à distance
L
3
de l’embouchure où il y a un ventre
de pression. Ainsi, on a la condition :
L
3
= (2n + 1)
λ
4
soit f = f
n = (2n + 1)
3c
4L
,
où n est un entier. La fréquence fondamentale devient f
1 =
3c
4L
= 3 f
1 . L’ouverture du trou
a pour effet de multiplier par 3 la fréquence du son émis par l’instrument. Pour le lecteur
musicien : la multiplication de la fréquence par 3 correspond à un saut d’une octave plus une
quinte.
3.9 Interférences de deux ondes sonores
1.
a. Ces observations font penser aux propriétés de l’onde stationnaire.
b. L’onde 1 se propage dans le sens positif de l’axe (Ox) donc : p 1 (x,t) = p 1
0,t −
x
c
.
Or : p 1 (0,t) = P 0 cos(2π f t + ϕ) puisque la phase initiale de l’onde 1 au niveau de HP1 est
ϕ. Il vient donc :
p 1 (x,t) = P 0 cos
2π f t − 2π
x
λ
+ ϕ
,
en notant λ =
c
f
la longueur d’onde.
L’onde 2 se propage dans le sens négatif de l’axe (Ox) donc : p 2 (x,t) = p 2
d,t −
d − x
c
,
avec p 2 (x,t) = P 0 cos(2π f t + ϕ). Ainsi :
p 2 (x,t) = P 0 cos
2π f t + 2π
x
λ
−
2πd
λ
+ ϕ
.
c. La surpression totale est :
p(x,t) = P 0 cos
2π f t − 2π
x
λ
+ ϕ
+ P 0 cos
2π f t + 2π
x
λ
−
2πd
λ
+ ϕ
= 2P 0 cos
2π
x
λ
cos
2π f t −
πd
λ
+ ϕ
,
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CHAPITRE 3 – SUPERPOSITIONS DE SIGNAUX
où n est un entier. Le troisième mode propre (n = 2) est représenté sur la figure ci-dessus à
droite.
2. λ =
c
f Do 0
=
331
32
= 10,3 m. Pour produire cette note avec un tuyau de longueur minimale,
il faut prendre un tuyau fermé à une extrémité et ouvert à l’autre tel que f
1 = f Do 0 . Ce tuyau
a une longueur L =
λ
4
= 2,6 m.
3.
a. Les modes propres d’un tuyau ouvert à une extrémité et fermé à l’autre sont les multiples impairs de la fréquence du mode fondamental. Quand l’air du tuyau vibre, sa vibration
est une superposition linéaire des différents modes propres. Elle produit un son dont le spectre
contient les fréquences de ces modes propres, c’est-à-dire un fondamental et seulement des
harmoniques d’ordre impair.
b. Le trou impose un nœud de pression à distance
L
3
de l’embouchure où il y a un ventre
de pression. Ainsi, on a la condition :
L
3
= (2n + 1)
λ
4
soit f = f
n = (2n + 1)
3c
4L
,
où n est un entier. La fréquence fondamentale devient f
1 =
3c
4L
= 3 f
1 . L’ouverture du trou
a pour effet de multiplier par 3 la fréquence du son émis par l’instrument. Pour le lecteur
musicien : la multiplication de la fréquence par 3 correspond à un saut d’une octave plus une
quinte.
3.9 Interférences de deux ondes sonores
1.
a. Ces observations font penser aux propriétés de l’onde stationnaire.
b. L’onde 1 se propage dans le sens positif de l’axe (Ox) donc : p 1 (x,t) = p 1
0,t −
x
c
.
Or : p 1 (0,t) = P 0 cos(2π f t + ϕ) puisque la phase initiale de l’onde 1 au niveau de HP1 est
ϕ. Il vient donc :
p 1 (x,t) = P 0 cos
2π f t − 2π
x
λ
+ ϕ
,
en notant λ =
c
f
la longueur d’onde.
L’onde 2 se propage dans le sens négatif de l’axe (Ox) donc : p 2 (x,t) = p 2
d,t −
d − x
c
,
avec p 2 (x,t) = P 0 cos(2π f t + ϕ). Ainsi :
p 2 (x,t) = P 0 cos
2π f t + 2π
x
λ
−
2πd
λ
+ ϕ
.
c. La surpression totale est :
p(x,t) = P 0 cos
2π f t − 2π
x
λ
+ ϕ
+ P 0 cos
2π f t + 2π
x
λ
−
2πd
λ
+ ϕ
= 2P 0 cos
2π
x
λ
cos
2π f t −
πd
λ
+ ϕ
,
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