Exercices Corrigés
CORRIGÉS
3.7 Anharmonicité d’une corde de piano
1. [c] =
[ω]
[k]
=
T −1
L
−1
= LT −1 . C’est une vitesse.
Le terme sous la racine carrée est sans dimension donc α a la dimension de
1
k 2 soit [α] = T 2 .
2. Les extrémités de la corde sont fixes donc sont des nœuds de vibration. Par suite, la longueur L de la corde est un multiple de la demi-longueur d’onde :
L = n
λ n
2
= n
π
k
soit k n =
nπ
L
.
En reportant dans la relation donnée par l’énoncé on trouve : ω n =
nπc
L
1 + α
n 2 π 2
L 2 . Finalement, la fréquence du mode propre d’ordre n est :
f n =
nc
2L
1 + α
n 2 π 2
L 2 .
3. La raideur de la corde fait que les fréquences f n ne sont pas des multiples entiers de la
fréquence fondamentale f 1 . Ceci altère la qualité du son. Le terme lié à la raideur est divisé
par L 2 : il diminue si les cordes sont plus longues.
3.8 Fréquences propres d’un tuyau sonore
1.
a. Si les deux extrémités sont ouvertes, il y a un nœud de surpression acoustique aux
deux extrémités. Or la distance entre deux nœuds est égale à un multiple entier de la demilongueur d’onde. On a donc nécessairement :
L = n
λ
2
= n
c
2 f
soit f = f n = n
c
2L
,
où n est un entier non nul. Le troisième mode propre (n = 3) est représentée sur la figure
ci-dessous à gauche.
L
L
b. Il y a un nœud de surpression acoustique à l’extrémité ouverte du tuyau et un ventre
de surpression acoustique à l’extrémité fermée. Or la distance entre un nœud et un ventre de
vibration est égale au quart de la longueur d’onde plus un multiple entier de la demi-longueur
d’onde. On a donc :
L =
λ
4
+ n
λ
2
=
n +
1
2
c
2 f
soit f = f
n = (2n + 1)
c
4L
,
113
CORRIGÉS
3.7 Anharmonicité d’une corde de piano
1. [c] =
[ω]
[k]
=
T −1
L
−1
= LT −1 . C’est une vitesse.
Le terme sous la racine carrée est sans dimension donc α a la dimension de
1
k 2 soit [α] = T 2 .
2. Les extrémités de la corde sont fixes donc sont des nœuds de vibration. Par suite, la longueur L de la corde est un multiple de la demi-longueur d’onde :
L = n
λ n
2
= n
π
k
soit k n =
nπ
L
.
En reportant dans la relation donnée par l’énoncé on trouve : ω n =
nπc
L
1 + α
n 2 π 2
L 2 . Finalement, la fréquence du mode propre d’ordre n est :
f n =
nc
2L
1 + α
n 2 π 2
L 2 .
3. La raideur de la corde fait que les fréquences f n ne sont pas des multiples entiers de la
fréquence fondamentale f 1 . Ceci altère la qualité du son. Le terme lié à la raideur est divisé
par L 2 : il diminue si les cordes sont plus longues.
3.8 Fréquences propres d’un tuyau sonore
1.
a. Si les deux extrémités sont ouvertes, il y a un nœud de surpression acoustique aux
deux extrémités. Or la distance entre deux nœuds est égale à un multiple entier de la demilongueur d’onde. On a donc nécessairement :
L = n
λ
2
= n
c
2 f
soit f = f n = n
c
2L
,
où n est un entier non nul. Le troisième mode propre (n = 3) est représentée sur la figure
ci-dessous à gauche.
L
L
b. Il y a un nœud de surpression acoustique à l’extrémité ouverte du tuyau et un ventre
de surpression acoustique à l’extrémité fermée. Or la distance entre un nœud et un ventre de
vibration est égale au quart de la longueur d’onde plus un multiple entier de la demi-longueur
d’onde. On a donc :
L =
λ
4
+ n
λ
2
=
n +
1
2
c
2 f
soit f = f
n = (2n + 1)
c
4L
,
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