Exercices Corrigés
CHAPITRE 3 – SUPERPOSITIONS DE SIGNAUX
Ceci n’est vrai, à tout instant t, que si : cos(kL + ψ) = 0, ce qui implique : ψ =
π
2
− kL + mπ,
où m est un entier. Dans ce cas :
cos(kx + ψ) = cos
k(x − L) +
π
2
+ mπ
= (−1)
m+1 sin(k(x − L)).
D’autre part, la corde est liée au vibreur en x = 0 donc :
y(0,t) = y vibreur (t) ⇔ (−1)
m A cos(ωt + ϕ) sin(kL) = a vibreur cos(ωt).
On en déduit que : ϕ = 0 et (−1) m A =
a vibreur
sin(kL)
. Finalement, la vibration de la corde est :
y(x,t) =
a vibreur
sin(kL)
cos(ωt) sin(k(L − x)).
2. L’amplitude maximale de vibration sur la corde est : 10a
a vibreur
sin(kL)
. On en déduit que :
sin(kL)
1
10
. La corde fait un seul fuseau donc L est proche de
λ
2
. Ainsi, kL est proche de π
et on en déduit que kL π − arcsin
1
10
π −
1
10
. Finalement :
L
λ
2
1 −
1
20π
0, 49λ .
3.6 Frettes d’une guitare
1. Dans le mode de vibration fondamental, de fréquence f 1 , la corde fait un seul fuseau avec
un nœud de vibration à chaque extrémité. La distance entre deux nœuds de vibration étant
égale à la demi-longueur d’onde, on a :
L =
λ
2
=
c
2 f 1
soit f 1 =
c
2L
.
2. Pour monter la note d’un demi-ton il faut multiplier sa longueur par 2
−
1
12 .
3. Lorsqu’on met le doigt sur la p ième frette, la note est montée de de p demi-tons, donc la
longueur de la corde devient : L p = L × 2
−
p
12 . La condition imposée est :
L p ≥
L
4
soit 2
−
p
12 ≤
1
4
soit p ≤ 24.
Il y a 24 frettes au maximum. Pour le lecteur musicien : avec 24 frettes on couvre une étendue
de 2 octaves avec une corde.
112