Exercices Corrigés
CHAPITRE 3 – SUPERPOSITIONS DE SIGNAUX
L’interférence est destructrice si les deux ondes sont en opposition de phase, c’est-à-dire si
Δϕ = 2mπ + π où m est un entier. Il en est ainsi si :
d 2 − d 1 =
m +
1
2
λ .
2.
a. Pour M appartenant à (Ox) et en dehors du segment S 1 S 2 , d 2 − d 1 = ±a. L’interférence étant destructrice en ces points, on en déduit que
a
λ
est un demi-entier.
b. Entre S 1 et S 2 on a d 1 + d 2 = a. Alors d 2 − d 1 = 2d 2 − a qui varie entre −a et +a.
On compte 8 lignes de vibrations minimales passant entre les sources. Elles correspondent à
d 2 − d 1
λ
= ±
1
2
, ±
3
2
, ±
5
2
et ±
7
2
. Donc 3, 5λ < a ≤ 4, 5λ . Ainsi : a = 4, 5λ .
3. Si M est un point de l’axe (Oy), on a : d 1 = d 2 . Ainsi les vibrations en provenance des
deux sources arrivent en phase en M, donc ont une interférence constructrice. L’amplitude de
vibration est ainsi maximale sur l’axe (Oy) ce qui explique le bon contraste de la figure au
voisinage de cet axe.
4.
a. Les phases des ondes 1 et 2 en M sont respectivement :
Φ 1 = 2π f t −
2πd 1
λ
et Φ 2 = 2π f t −
2πd 2
λ
.
La phase moyenne est : Φ =
1
2
(Φ 1 + Φ 2 ) = 2π f t −
π
λ
(d 1 + d 2 ).
Une courbe définie par la condition
Φ = constante ⇐⇒ d 1 + d 2 = constante
est une ellipse dont les foyers sont S 1 et S 2 (voir annexe mathématique).
b. En M, point d’une ligne de vibration minimale, les vecteurs de Fresnel
− →
S 1 et
− →
S 2 relatifs aux deux ondes sont antiparallèles (figure ci-dessous, à gauche). Dans ce qui suit, on
supposera que les angles entres les vecteurs
− →
S 1 et
− →
S 2 et l’axe des abscisses (OX ) sont respectivement : Φ 1 = Φ +
π
2
et Φ 2 = Φ −
π
2
. Ce pourrait être aussi l’inverse, mais cela ne changerait
pas le raisonnement .
En M , point voisin de M du côté de la source S 1 par rapport à la ligne de vibration minimale,
le retard de phase de la vibration 2 par rapport à la vibration 1 est légèrement plus grand que
π. L’angle entre l’axe (OX ) et le vecteur
− →
S 1 est supérieur à Φ +
π
2
, tandis que l’angle entre
(OX ) et
− →
S 2 est inférieur à Φ −
π
2
(figure ci-dessous au centre). Il se passe l’inverse en M ,
point voisin de M du coté de la source S 2 par rapport à la ligne de vibration minimale (figure
ci-dessous à droite).
c. Les vibrations résultantes en M et M sont en opposition de phase.
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CHAPITRE 3 – SUPERPOSITIONS DE SIGNAUX
L’interférence est destructrice si les deux ondes sont en opposition de phase, c’est-à-dire si
Δϕ = 2mπ + π où m est un entier. Il en est ainsi si :
d 2 − d 1 =
m +
1
2
λ .
2.
a. Pour M appartenant à (Ox) et en dehors du segment S 1 S 2 , d 2 − d 1 = ±a. L’interférence étant destructrice en ces points, on en déduit que
a
λ
est un demi-entier.
b. Entre S 1 et S 2 on a d 1 + d 2 = a. Alors d 2 − d 1 = 2d 2 − a qui varie entre −a et +a.
On compte 8 lignes de vibrations minimales passant entre les sources. Elles correspondent à
d 2 − d 1
λ
= ±
1
2
, ±
3
2
, ±
5
2
et ±
7
2
. Donc 3, 5λ < a ≤ 4, 5λ . Ainsi : a = 4, 5λ .
3. Si M est un point de l’axe (Oy), on a : d 1 = d 2 . Ainsi les vibrations en provenance des
deux sources arrivent en phase en M, donc ont une interférence constructrice. L’amplitude de
vibration est ainsi maximale sur l’axe (Oy) ce qui explique le bon contraste de la figure au
voisinage de cet axe.
4.
a. Les phases des ondes 1 et 2 en M sont respectivement :
Φ 1 = 2π f t −
2πd 1
λ
et Φ 2 = 2π f t −
2πd 2
λ
.
La phase moyenne est : Φ =
1
2
(Φ 1 + Φ 2 ) = 2π f t −
π
λ
(d 1 + d 2 ).
Une courbe définie par la condition
Φ = constante ⇐⇒ d 1 + d 2 = constante
est une ellipse dont les foyers sont S 1 et S 2 (voir annexe mathématique).
b. En M, point d’une ligne de vibration minimale, les vecteurs de Fresnel
− →
S 1 et
− →
S 2 relatifs aux deux ondes sont antiparallèles (figure ci-dessous, à gauche). Dans ce qui suit, on
supposera que les angles entres les vecteurs
− →
S 1 et
− →
S 2 et l’axe des abscisses (OX ) sont respectivement : Φ 1 = Φ +
π
2
et Φ 2 = Φ −
π
2
. Ce pourrait être aussi l’inverse, mais cela ne changerait
pas le raisonnement .
En M , point voisin de M du côté de la source S 1 par rapport à la ligne de vibration minimale,
le retard de phase de la vibration 2 par rapport à la vibration 1 est légèrement plus grand que
π. L’angle entre l’axe (OX ) et le vecteur
− →
S 1 est supérieur à Φ +
π
2
, tandis que l’angle entre
(OX ) et
− →
S 2 est inférieur à Φ −
π
2
(figure ci-dessous au centre). Il se passe l’inverse en M ,
point voisin de M du coté de la source S 2 par rapport à la ligne de vibration minimale (figure
ci-dessous à droite).
c. Les vibrations résultantes en M et M sont en opposition de phase.
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