Exercices
S’ENTRAÎNER
1. En exploitant le fait que la corde est fixe en x = L et liée au vibreur en x = 0, obtenir
l’expression de y(x,t) en fonction de a vibreur , ω, k, L, x et t.
2. La corde étant en résonance avec un seul fuseau, l’amplitude maximale de vibration de la
corde est environ égale à 10a. Quelle relation y a-t-il entre la longueur d’onde λ de l’onde
stationnaire et L ? On fera l’approximation : arcsin
1
10
1
10
.
3.6 Frettes d’une guitare ()
Les frettes placées le long du manche d’une guitare permettent au musicien de modifier la
hauteur du son produit par la corde. En pressant la corde contre une frette, il diminue sa longueur, provoquant une augmentation de la fréquence fondamentale de vibration de la corde.
L
d
1. Retrouver rapidement la fréquence de vibration fondamentale d’une corde de longueur L
le long de laquelle les ondes se propagent à la célérité c.
2. La note monte d’un demi-ton lorsque la fréquence est multipliée par 2
1
12 . Pour cela, comment doit-on modifier la longueur de la corde ?
3. En plaçant le doigt sur les frettes successives on monte à chaque fois la note d’un demi-ton.
Combien de frettes peut-il y avoir au maximum, sachant que la distance d entre la dernière
frette et le point d’accrochage de la corde (voir figure) doit être supérieure à 0, 25L ?
3.7 Anharmonicité d’une corde de piano ()
On s’intéresse aux modes propres d’une corde de piano de longueur L, fixée en ses deux
extrémités. La relation entre le vecteur d’onde et la pulsation d’une onde se propageant le
long de cette corde est : ω = ck
√
1 + αk 2 où c et α dépendent de la section de la corde et de
sa tension mais pas de sa longueur. Le coefficient α est dû à la raideur de la corde (il serait
nul pour une corde parfaitement souple comme la corde de Melde).
1. Quelles sont les unités de c et α ?
2. Quelles sont les valeurs possibles de k pour une onde stationnaire existant sur cette corde ?
Exprimer les fréquences correspondantes en fonction de c, α, L et d’un entier n.
3. Les cordes d’un piano de concert sont plus longues que les cordes d’un piano de salon.
Pourquoi cela améliore-t-il la qualité musicale du son ?
3.8 Fréquences propres d’un tuyau sonore ()
La colonne d’air contenue dans un instrument à vent (flûte, clarinette...) ou dans un tuyau
d’orgue vibre selon des modes propres correspondant à des conditions aux limites données.
Dans une modélisation très simple on envisage deux types de conditions :
101
S’ENTRAÎNER
1. En exploitant le fait que la corde est fixe en x = L et liée au vibreur en x = 0, obtenir
l’expression de y(x,t) en fonction de a vibreur , ω, k, L, x et t.
2. La corde étant en résonance avec un seul fuseau, l’amplitude maximale de vibration de la
corde est environ égale à 10a. Quelle relation y a-t-il entre la longueur d’onde λ de l’onde
stationnaire et L ? On fera l’approximation : arcsin
1
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.
3.6 Frettes d’une guitare ()
Les frettes placées le long du manche d’une guitare permettent au musicien de modifier la
hauteur du son produit par la corde. En pressant la corde contre une frette, il diminue sa longueur, provoquant une augmentation de la fréquence fondamentale de vibration de la corde.
L
d
1. Retrouver rapidement la fréquence de vibration fondamentale d’une corde de longueur L
le long de laquelle les ondes se propagent à la célérité c.
2. La note monte d’un demi-ton lorsque la fréquence est multipliée par 2
1
12 . Pour cela, comment doit-on modifier la longueur de la corde ?
3. En plaçant le doigt sur les frettes successives on monte à chaque fois la note d’un demi-ton.
Combien de frettes peut-il y avoir au maximum, sachant que la distance d entre la dernière
frette et le point d’accrochage de la corde (voir figure) doit être supérieure à 0, 25L ?
3.7 Anharmonicité d’une corde de piano ()
On s’intéresse aux modes propres d’une corde de piano de longueur L, fixée en ses deux
extrémités. La relation entre le vecteur d’onde et la pulsation d’une onde se propageant le
long de cette corde est : ω = ck
√
1 + αk 2 où c et α dépendent de la section de la corde et de
sa tension mais pas de sa longueur. Le coefficient α est dû à la raideur de la corde (il serait
nul pour une corde parfaitement souple comme la corde de Melde).
1. Quelles sont les unités de c et α ?
2. Quelles sont les valeurs possibles de k pour une onde stationnaire existant sur cette corde ?
Exprimer les fréquences correspondantes en fonction de c, α, L et d’un entier n.
3. Les cordes d’un piano de concert sont plus longues que les cordes d’un piano de salon.
Pourquoi cela améliore-t-il la qualité musicale du son ?
3.8 Fréquences propres d’un tuyau sonore ()
La colonne d’air contenue dans un instrument à vent (flûte, clarinette...) ou dans un tuyau
d’orgue vibre selon des modes propres correspondant à des conditions aux limites données.
Dans une modélisation très simple on envisage deux types de conditions :
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