¿º ÄÄ× ÙØÖÖ× ÙÖÖÖØØÓÒ× ÒÒÖÖÕÙÙ×
½
ÙÖÖ ¿º¿¿ ÊÊ×ÓÐÙØØÓÒ ÕÙÙÐÐØØØØÚÚ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ λR = cosh(hλ)º ´´µ × ÓÓ R ×Ø
×××Þ ÔÔØØØ Ø Ð Ò³Ý ÔÔ× ´´µ × ÓÓ R ×Ø ×××Þ ÖÖÒÒº ÁÐ ÜÜ×ØØ ÙÜ
ÒØØÖ×××ØØÓÒ׸ ØÝÔÔÕÙÙ× ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÓйÒÒÙÙº
ÒÒ ÔÔÙÚÚÒØ ×× ÖÓÓ××Ö ÐÓÖ×ÕÙÙ R ×Ø ØÖÓÔ ÔÔØØØ ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º¿¿¿µº ÄÓÖ×ÕÙÙ R ÖÓÓظ Ð
ÔÔÔÖÖÖØ ÙÒÒ ÚÚÐÐÙÖ ÖÖØØÕÙÙ¸ Rc¸ Ó Rλ ÚÚÚÒØ ØØÒÒÒÒØ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ ÝÔÔÖÖÓÐÐÕÙÙ
cosh(hλ) ÒÓØÓÒ× λc¸ г³³×××××× Ù ÔÓÓÒØ ØØÒÒÒÒغ ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÝÓÒ R ×Ø ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ
Ù ÖÖÝÓÒ ÖÖØØÕÙÙ ´R > Rcµ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÜ ÔÓÓÒØ× Ø ÓÒÒ ÙÜ
×ÓÐÙØØÓÒ× ´ÚÓÓÖ ÙÖÖ ¿º¿¿¿µ ÒÓØÓÒ× ÐÐÙÖ× ××××××× λ− Ø λ+º ÄÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÝÓÒ R
×Ø ÒÒÒÖÖÖÙÖ Ù ÖÖÝÓÒ ÖÖØØÕÙÙ ´R < Rcµ¸ ÐÐ× ÙÜ ÒÒ ×³³ÒØØÖ×××ØØÒØ Ô × ¸ ¸ Ø Ð
ÒÓÑÑÖÖ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÔÔ××× Ò×× ÙÜ ÞÞÖÓ ×ÓÐÙØØÓÒ׺
ÄÄ ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ ´Rc, λcµ ×Ø ÒÒ ÔÔÖ ÙÜ ÓÒÒÒØØÓÒ× ÒÒÐݹ
ØØÕÙÙ׸ ÐÐ ÔÖÖÑÑÑÖÖ ØÖÖÖÙÙØ ÐÐ ÒÒÒÒ×××ØØ ³ÙÒÒ ÒØØÖ×××ØØÓÒ ÒØÖÖ ÐÐ ÖÓÓØØ Rλ Ø ÐÐ
ÓÒÒØØÓÒ ÝÔÔÖÖÓÐÐÕÙÙ cosh(hλ)¸ ×ÓÓØ
Rcλc = cosh(hλc).
´¿ºº½µ
ÄÄ ×××ÓÒÒÒ ÓÒÒÒØØÓÒ ÒÒÐÝØØÕÙÙ ×Ø ××ÓÓÓÓÓ Ù Ø ÕÙ³³Ò ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ¸
ÐÐ ÖÓÓØØ Rλ ×Ø ÔÐÙ× ØØÒÒÒÒØØ ÐÐ ÓÙÖÖÖ ÝÔÔÖÖÓÐÐÕÙÙ cosh(hλ)¸
ÙØÖÖÑÑÒØ Ø Ø ¸ Ð Ö Ú ÐÐ ÖÓÓØØ dRλ/dλ = R ×Ø ÐÐ ÐÐ ÖÖÚ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ
ÝÔÔÖÖÓÐÐÕÙÙ d cosh(hλ)/dλ = h sinh(hλ]¸ ¸ ³ Ó
Rc = h sinh(hλc) .
´¿ºº¾µ
ØÙÓÒ× ÙÒ ÚÚÐÓÔÔÔÑÑÒØ Ø Ì Ù ÚÓÓ××ÒÒÒÒ Ù ÔÓÓÒØ ÖÖØØÕÙÙ¸ Ù ÔÓÓÒØ Ø
ÓÓÖÖÓÒÒÒÒ× (R − Rc, λ − λc)¸ ÔÓÙÖ ÓÓØØÒÒÖ ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ´¿ºº¼µ г³ÜÔÖÖ×××ÓÒ
R − Rc =
h
2 Rc
2
(λ − λc)
2 .
´¿ºº¿µ
ØØØ ÕÙÙØØÓÒ Ò³³ ÙÙÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÝÓÒ Ð³³ÒÒÒÒÙ R ×Ø ÒÒÒÖÖÖÙÖ Ù
ÖÖÝÓÒ ÖÖØØÕÙÙ Rc ´R < Rcµº Ò ÖÖÚÚÒÒ¸ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÝÓÒ Ð³³ÒÒÒÒÙ R ×Ø ×ÙÔÔÖÖÖÙÖ
Ù ÖÖÝÓÒ ÖÖØØÕÙÙ Rc ´R > Rcµ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ×
λ − λc = ±
√ 2
h
r
R − Rc
Rc
=
1
a
−
1
ac
.
´¿ºººµ
Ò R = Rc¸ ÐÐ× ÙÜ ×ÓÐÙØØÓÒ× ×× ÆÓÙ× ÔÓÙÚÓÒ× ³ÓÖÖ× Ø ÔÖÖ×××ÒØØÖ