¼
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
×ÙÙØ
f − r
∂f
∂r = C,
´¿ºººµ
ÓÓ C ×Ø ÙÒÒ ÓÒ×ØØÒØØ ³³ÒØØØÖÖØØÓÒº Ò ÙØØÐÐ××ÒØ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÐÐ
ÓÒÒØØÓÒ f (r, r
) ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ¿ºº¿¸ f = 2πr
√
1 + r 2 µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
r = a
p
1 + r 2 ,
´¿ºººµ
ÓÓ ÓÒ ÔÓ×× a = C/(2π). ÈÙÙ×ÕÙÙ r
= dr/dz¸ Ò Ó Ù × × ÚÓÒ×
dr
q
r 2
a 2 − 1
= dz,
´¿ºººµ
ÓÓ ÒÓÙ× ÖÖÖÓÒÒÒÒ××ÓÒ× ÐÐ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ Ó××ÒÙ× ÝÔÔÖÖÓÐÐÕÙÙº ÕÙÙ ÔÔÖ¹
ÑÑØ ³ÓÓØØÒÒÖ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ r(z) ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐÐРг³³ÖÖ S ×Ø
ÜØÖÖÑÙÑ
r = a cosh(
z − b
a
),
´¿ºººµ
ÓÓ b ×Ø ÙÒÒ Ø a ÙÒÒ ÒÒÒ ÔÔÖ a = 2πCº º Ø Ø
ÕÙÙØØÓÒ ÖÖØ ÐÐ ÓÖÑѸ ØØ ØØÒÒÒÖÖ¸ Ò ÓÖÑÑ ÕÙÙ ÔÖÖÒÒ
ÙÒ Ð ×Ù×ÔÔÒÒÙ ÔÔÖ ××× ÜØÖÖÑÑØØ× Ø ×ÓÙÑÑ× ×ÓÒ ÔÖÓÔÖÖ ÔÓÓÓ׺ ÄÄ ÓÖÑÑ ÐÐ ×ÙÖÖÖÖÖ
ÓÓØØÒÙÙ ÔÔÖ ÖÖÚÓÐÙØØÓÒ ØØØ ØØÒÒÒÖÖ r(z) ÙØÓÙÖ Ð³³ÜÜ Oz ×Ø ØØ
ØØØÒÓÓÓÓ ´ÚÓÓÖ ÐÐ ÓÖÑÑ ×××ÑÑØØÕÙÙ ÖÖÔÖÖ××ÒØØØ ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ ¿º¿¿µº
Ò Ð³ÓÖÖÖÖÒÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ Ù ÐÐ ØØØÒÓÓÓÓ ××
ÔÐÓÝÒØ Ø Ò ØÖÖ z = −h Ø z = h¸ ÒÓÙ× ÒÓÙ× ÐÐ ÓÒ×ØØÒØØ b ´b = 0µº
ÈÈÖ ÐÐÐÙÖ׸ ÐÐ ÓÒ×ØØÒØØ a ×Ø ÔÓØØÒØØØÐÐÐÑÑÒØ ØØÖÑÑÒÒÒ ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
ÐÐ ØØÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿ºººµ Ò ××ØØ××××××ÒØ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÐÐÑÑØØ ÜÜÜ ÔÔÖ Ð³³ÒÒÒÒÙ ××ØÙÙ
ÙÜ ÙÜ ÜØÖÖÑÑØØ× Ù ÐÑ ××ÚÓ Ò Ò Ð Ö ÝÓÒ r Ù ÐÑ ÐÐ ÙØØÙÖ h ×Ø ÐÐ Ù
ÖÖÝÓÒ R г³ÒÒÒÒÙº Ò ÙØØÐÐ××ÒØ ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ÐÐÑÑØØ ´×ÓÓØ r(z = h) = Rµ ÕÙÙ ÒÓÙ×
ÒÒÒÒØÓÒ× Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÐÐ ØØÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿ºººµ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ
×ÙÙÚÚÒØØ
R
a
= cosh(
h
a
) .
´¿ºººµ
ÅÅÅ׸ ÙÒÒ ØØÐÐÐ ÕÙÙØØÓÒ Ò a Ò³³ ÔÔ× ØÓÙÙÓÙÖ× ×ÓÐÙØØÓÒº ÈÓÙÖ ÙÒÒ ÙØØÙÖ h ÓÒÒÒÒ¸
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ¿ººº Ò³³ÜÜ×ØØ ÕÙ³³ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÝÓÒ R × ÒÒÒÒÙÜ
×ÓÓØ ÓÑÔÖÖ× Ò× ÙÒ ×ÔÔÔÔÔÕÙÙ ÚÚÐÐÙÖ׺ Ò×׸ ÐÐ ÚÚÖÖÖØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
R г³ÜÜ×ØØÒÒÒ ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÙ Ò Ð³³ÒÒÜÜ×ØØÒÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒº Ò³³×Ø ÔÔ×
××Ò× ÒÓÙ× ÖÖÔÔÔÐÐÐÖ ÐÐ ×××ÒÒÖÖÓ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÓйÒÒÙÙº
Ò ØÙÙÒØ Ð ÒÒÒÑÑÒØ Ø Ú ÖÖÖÖÐÐ a → 1/λ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÔÔÖØØÖ ÐÐ
ÖÖÐÐØØÓÒ ÔÖÖÖÖÖÖÒØØ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿ºººµ¸ г³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ
λR = cosh(hλ).
´¿ºº¼µ
ÓÒØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò³³ÜÜ×ØØ ÕÙÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÖÓÓØØ D(λ) = Rλ ÔÔÒØØ ÐÐ R Ø ÐÐ
ÓÒÒØØÓÒ ÝÔÔÖÖÓÐÐÕÙÙ g(λ) = cosh(hλ) ׳³ÒØØÖ×××ØØÒØ ´ÚÓÓÖ ÐÐ ÙÖÖ ¿º¿¿¸ ÔÓÙÖ ÙÒÒ
ÖÖ×ÓÐÙØØÓÒ ÖÖÔÔÔÕÙÙµº ÉÙÙÐÐØØØØÚÑÑÒظ Ð ÒÒ Ø ÙÙÙÒ ÓÙØØ ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ÓÙÖÖÖ×
ÓÑÑÑ df =
∂f
∂r
dr +
∂f
∂r dr ¸ ØØÐÐÐ ×ÓÖØØ ÕÙÙ df /dz =
∂f
∂r
r +
∂f
∂r r º ÅÙÐØØÔÐÐÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÙÐÐÖ¹ÄÄÄÖÖÒÒÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿ºººµ ÔÔÖ r ¸ Ø ÙØØÐÐ×ÓÒ× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ¹¹¹××Ù× df /dz¸ ÔÓÙÖ
ÓÙØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ d/dz[f − r ∂f
∂r ] = 0º ÍÒÒ ××ÑÔÐÐ ÒØØØÖÖØØÓÒ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ
ÓÒÒÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ××ÑÔÐÐÐÐÐ ³³ÙÐÐÖ¹ÄÄÄÖÖÒÒÒ Ù × ÓÓ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒÒÒÐÐÐ f ×Ø ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØØ
z f − r ∂f
∂r = C¸ ¸ Ú C ÙÒÒ ÓÒ×ØØÒØغ
ÝÒÒÑÑÕÙÙ× ÓÑÔÐÐÜÜ× Ø ÑÓÖÔÔÓÓÓÒÒ××
×ÙÙØ
f − r
∂f
∂r = C,
´¿ºººµ
ÓÓ C ×Ø ÙÒÒ ÓÒ×ØØÒØØ ³³ÒØØØÖÖØØÓÒº Ò ÙØØÐÐ××ÒØ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÐÐ
ÓÒÒØØÓÒ f (r, r
) ´ÚÓÓÖ ÕÙÙØØÓÒ ¿ºº¿¸ f = 2πr
√
1 + r 2 µ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ×
r = a
p
1 + r 2 ,
´¿ºººµ
ÓÓ ÓÒ ÔÓ×× a = C/(2π). ÈÙÙ×ÕÙÙ r
= dr/dz¸ Ò Ó Ù × × ÚÓÒ×
dr
q
r 2
a 2 − 1
= dz,
´¿ºººµ
ÓÓ ÒÓÙ× ÖÖÖÓÒÒÒÒ××ÓÒ× ÐÐ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ Ó××ÒÙ× ÝÔÔÖÖÓÐÐÕÙÙº ÕÙÙ ÔÔÖ¹
ÑÑØ ³ÓÓØØÒÒÖ Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒ r(z) ÔÓÙÖ ÐÐÕÙÙÐÐРг³³ÖÖ S ×Ø
ÜØÖÖÑÙÑ
r = a cosh(
z − b
a
),
´¿ºººµ
ÓÓ b ×Ø ÙÒÒ Ø a ÙÒÒ ÒÒÒ ÔÔÖ a = 2πCº º Ø Ø
ÕÙÙØØÓÒ ÖÖØ ÐÐ ÓÖÑѸ ØØ ØØÒÒÒÖÖ¸ Ò ÓÖÑÑ ÕÙÙ ÔÖÖÒÒ
ÙÒ Ð ×Ù×ÔÔÒÒÙ ÔÔÖ ××× ÜØÖÖÑÑØØ× Ø ×ÓÙÑÑ× ×ÓÒ ÔÖÓÔÖÖ ÔÓÓÓ׺ ÄÄ ÓÖÑÑ ÐÐ ×ÙÖÖÖÖÖ
ÓÓØØÒÙÙ ÔÔÖ ÖÖÚÓÐÙØØÓÒ ØØØ ØØÒÒÒÖÖ r(z) ÙØÓÙÖ Ð³³ÜÜ Oz ×Ø ØØ
ØØØÒÓÓÓÓ ´ÚÓÓÖ ÐÐ ÓÖÑÑ ×××ÑÑØØÕÙÙ ÖÖÔÖÖ××ÒØØØ ×ÙÖ ÐÐ ÙÖÖ ¿º¿¿µº
Ò Ð³ÓÖÖÖÖÒÒ Ù ×Ý×ØØÑÑ Ù ÐÐ ØØØÒÓÓÓÓ ××
ÔÐÓÝÒØ Ø Ò ØÖÖ z = −h Ø z = h¸ ÒÓÙ× ÒÓÙ× ÐÐ ÓÒ×ØØÒØØ b ´b = 0µº
ÈÈÖ ÐÐÐÙÖ׸ ÐÐ ÓÒ×ØØÒØØ a ×Ø ÔÓØØÒØØØÐÐÐÑÑÒØ ØØÖÑÑÒÒÒ ÔÔÖØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
ÐÐ ØØÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿ºººµ Ò ××ØØ××××××ÒØ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÐÐÑÑØØ ÜÜÜ ÔÔÖ Ð³³ÒÒÒÒÙ ××ØÙÙ
ÙÜ ÙÜ ÜØÖÖÑÑØØ× Ù ÐÑ ××ÚÓ Ò Ò Ð Ö ÝÓÒ r Ù ÐÑ ÐÐ ÙØØÙÖ h ×Ø ÐÐ Ù
ÖÖÝÓÒ R г³ÒÒÒÒÙº Ò ÙØØÐÐ××ÒØ ØØØ ÓÒÒÒØØÓÒ ÐÐÑÑØØ ´×ÓÓØ r(z = h) = Rµ ÕÙÙ ÒÓÙ×
ÒÒÒÒØÓÒ× Ò× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ÐÐ ØØÒÒÒÖÖ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿ºººµ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÐÐ ÖÖÐÐØØÓÒ
×ÙÙÚÚÒØØ
R
a
= cosh(
h
a
) .
´¿ºººµ
ÅÅÅ׸ ÙÒÒ ØØÐÐÐ ÕÙÙØØÓÒ Ò a Ò³³ ÔÔ× ØÓÙÙÓÙÖ× ×ÓÐÙØØÓÒº ÈÓÙÖ ÙÒÒ ÙØØÙÖ h ÓÒÒÒÒ¸
ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ¿ººº Ò³³ÜÜ×ØØ ÕÙ³³ ÐÐ ÓÒÒÒØØÓÒ ÕÙÙ ÐÐ ÖÖÝÓÒ R × ÒÒÒÒÙÜ
×ÓÓØ ÓÑÔÖÖ× Ò× ÙÒ ×ÔÔÔÔÔÕÙÙ ÚÚÐÐÙÖ׺ Ò×׸ ÐÐ ÚÚÖÖÖØØÓÒ Ù ÔÔÖÖÑÑØÖÖ
R г³ÜÜ×ØØÒÒÒ ³ÙÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ ÓÙ Ò Ð³³ÒÒÜÜ×ØØÒÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒº Ò³³×Ø ÔÔ×
××Ò× ÒÓÙ× ÖÖÔÔÔÐÐÐÖ ÐÐ ×××ÒÒÖÖÓ ÐÐ ÙÖÖÖØØÓÒ ÓйÒÒÙÙº
Ò ØÙÙÒØ Ð ÒÒÒÑÑÒØ Ø Ú ÖÖÖÖÐÐ a → 1/λ¸ ÒÓÙ× ÓÓØØÒÓÒ× ÔÔÖØØÖ ÐÐ
ÖÖÐÐØØÓÒ ÔÖÖÖÖÖÖÒØØ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿ºººµ¸ г³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÚÒØØ
λR = cosh(hλ).
´¿ºº¼µ
ÓÒØ ÐÐ ×ÓÐÙØØÓÒ Ò³³ÜÜ×ØØ ÕÙÙ ÐÓÖ×ÕÙÙ ÐÐ ÖÓÓØØ D(λ) = Rλ ÔÔÒØØ ÐÐ R Ø ÐÐ
ÓÒÒØØÓÒ ÝÔÔÖÖÓÐÐÕÙÙ g(λ) = cosh(hλ) ׳³ÒØØÖ×××ØØÒØ ´ÚÓÓÖ ÐÐ ÙÖÖ ¿º¿¿¸ ÔÓÙÖ ÙÒÒ
ÖÖ×ÓÐÙØØÓÒ ÖÖÔÔÔÕÙÙµº ÉÙÙÐÐØØØØÚÑÑÒظ Ð ÒÒ Ø ÙÙÙÒ ÓÙØØ ÕÙÙ ÐÐ× ÙÜ ÓÙÖÖÖ×
ÓÑÑÑ df =
∂f
∂r
dr +
∂f
∂r dr ¸ ØØÐÐÐ ×ÓÖØØ ÕÙÙ df /dz =
∂f
∂r
r +
∂f
∂r r º ÅÙÐØØÔÐÐÓÒ× Ð³³ÕÙÙØØÓÒ
³³ÙÐÐÖ¹ÄÄÄÖÖÒÒÒ ´´ÕÙÙØØÓÒ ¿ºººµ ÔÔÖ r ¸ Ø ÙØØÐÐ×ÓÒ× Ð³³ÜÔÖÖ×××ÓÒ ¹¹¹××Ù× df /dz¸ ÔÓÙÖ
ÓÙØØÖ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ×ÙÙÚÒØØ d/dz[f − r ∂f
∂r ] = 0º ÍÒÒ ××ÑÔÐÐ ÒØØØÖÖØØÓÒ ØØØ ÕÙÙØØÓÒ
ÓÒÒÒ Ð³³ÕÙÙØØÓÒ ××ÑÔÐÐÐÐÐ ³³ÙÐÐÖ¹ÄÄÄÖÖÒÒÒ Ù × ÓÓ ÐÐ ÓÒÒØØÓÒÒÒÐÐÐ f ×Ø ÒÒÒÔÔÒÒÒÒØØ
z f − r ∂f
∂r = C¸ ¸ Ú C ÙÒÒ ÓÒ×ØØÒØغ